【Divide and Conquer】53.Maximum Subarray（easy）

#week2#

#from leetcode#

Description

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Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

Analysis

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题目隶属于分治类型之下，所以最开始就会从 “是否能够拆分成一个个子问题” 这个角度出发去思考，最开始想到，能否将其从n个数的最大和数列变为n-1个数的最大和数列，然后慢慢地递减下去，于是最开始第一种思考，从后面一个个减去一个数组元素，也就是思考max(n)=max(n-1)+0?a[n]是否可以从某个分治规则成立（其中a为数组，max(n)代表前面n个数构成的数组的最大和连续数列），然而思考后，发现这样是无法成立的，因为递归求解前n个数的数组的最大和连续数列得到最大和之后，我们需要考虑如何能够与后面这个数联系起来呢，首先，我们就要保证最大连续数列的边缘是接触到后面的这个数的，这样才能够把这个数算入其中，这样假设我们得到了max(n-1)，那么我们递归返回来的信息有限，我们如何知道第n-1个数是包含在里面的呢？其实也非行不通，但是比较麻烦，所以暂且搁置第一个想法。

第二个想法，我就从1,2,3,4,...,n-1,n个连续数列的最大连续数列和出发去思考，1个就是本身，2个的话，就取决于大的或者两者的和，然后三个、四个，出现问题了，也是比较难以找到其关系，这个关系规则比较繁琐，而且这种划分很多，相邻2个、相邻3个，划分个数很多，所以比较麻烦，于是这个想法也搁浅。

第三个想法，我又回到了第一个想法的类似方向，不过这一次不想从递归走了，想要反面来思考一下，换成递推会如何呢？一般来说，递推相对于递归会更快，有的时候思路会比较清晰一点，不过其实大部分递归比递推好想。好，那我们从最前面的1个开始，然后前面的2个、3个、....、直到n个，依旧用max(n)来记录n个元素的数组中最大连续数列和，而a是所给的数组，同时我们记录下max(n)里面的连续最大序列的右边界right（数组的下标），那么max(1)就是a[1]（无论a[1]是否大于零，因为连续数列至少有一个数，所以就算a[1]小于0，如果数组只有一个值，那么max也是a[1]而不是0），然后max(2)要怎么考虑呢，其实这个就可以转换为一般思想的考虑了，如果确定了max(n-1)，要入一个a[n]，应该如何考虑max(n)？我们一起来思考一下：

• 如果a[n]>=max(n-1)的话，我们考虑max(n-1)<=0，那么很明显，max(n-1)可以丢弃，我们从right边缘向a[n]考虑；
• 如果a[n]<max(n-1)，那么我们思考几种情况：

1. a[n]<0，那么a[n]可以丢弃不算入max(n)中；
2. a[n]=0，那么如果max(n-1)的右边界right=n-1，则可以将a[n]加入max(n)中，因为加入他之后总和未改变，同时可以与后续的数成为连续最大数列；
3. a[n]>0，那么我们就也可以从right边缘向a[n]]考虑同时与max做比较；

• 分情况大致完成，解释一下从right边缘向a[n]考虑的意思：即从right边缘+1的数开始加到a[n]，得到∑i=right+1->n，然后再考虑∑i=right+2->n，直到∑i=n（不过求这些只要从n开始向前加即可得到每一个的值），得到∑max，第一步的那个就是将∑max作为max，而最后一步中提到与max做比较，即将∑max和max(n-1)+∑i=right+1->n作比较，即max(n)=max(∑max，max(n-1)+∑i=right+1->n)。

这个思路是花了点时间思考总结出来的，所以大家可以自己思考思考，如果有问题请指出。

虽然说这个思路比递归来说清晰了许多，但是可以发现，还是比较麻烦的，最坏的情况复杂度可以达到O(n)，即跑n次，且每一次都需要与前面的数进行相加，因此十分耗时。

但是，到了这个时候我已经才思枯竭了，不太想得出如何做优化，或者可以用什么其他的方法来做，于是跑去看了下其他人的discussion。

发现第一篇discussion和我的思考很类似，但是最后他通过很简单的一个式子

maxSubArray(A, i) = maxSubArray(A, i - 1) > 0 ? maxSubArray(A, i - 1) : 0 + A[i];

即得到了n个数的数列与n-1个数的数列的关系，最开始我觉得似乎没有涵盖所有情况，但是后面推导发现所有情况都被这个式子给解决了，很神奇，但是给我自己思考，我确实没有找到思考出这个思想的切入点，实际上它这个答案也与后面的一个答案类似，他们就是考虑到当出现了sum<0的情况就将这个sum抛弃，重新开始记录sum，很巧妙，而且很快时间复杂度仅仅O(n)。

我也接纳了这个方法，因为自己的方法实在繁琐，我能够理解该方法解题的正确性，但是不太理解是如何去想到这个方法的，如果聪明的大家知道的话请指引，谢谢~

下面给出这两个discussion的链接和名称：

https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/discuss/

第一篇DP solution & some thoughts

第三篇Simplest and fastest O(n) C++ solution

Code

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class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int max = nums[0], sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
            if (sum > max) max = sum;
            if (sum < 0) sum = 0;
        }
        return max;
    }
};