复变函数与积分变换

恩，今天又要看积分变换了。只怪当初、没学好。

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张建国 等·机械工业·2010·1版

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第一章：复数与复变函数

• 所谓复变函数，就是自变量为复数的函数。
• 研究主要对象是某种意义下可导的复变函数，称为解析函数。
• 知识点层次为：复数->复变函数->复变函数性质->初等解析函数及性质

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1. 复数代数式：z = x + iy
2. 复数三角式：z = r(cosθ + isinθ)
3. 欧拉公式：e^iθ = cosθ + isinθ
4. 指数式：z = re^iθ
5. 主值　：θ = arg z = arctan(^y/_x)
6. 棣莫弗公式：(cosθ + isinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ

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解析函数

复变函数可导的条件：实部虚部两个二元函数可微，实部与虚部通过C-R条件联系起来。

若函数f(z)在z₀某一领域处处可导，称f(z)在z₀处解析。

若f(z)在区域E内每一点解析，称f(z)是E内的一个解析函数。

f在E内解析的充要条件是，u、v 在E内任一点可微，且满足C-R条件。

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　第二章　复变函数和积分

• 复变函数积分
• 柯西积分
• 解析函数与调和函数的关系

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线积分与路径无关等价于该函数沿单连域中任何闭曲线的积分为零。

柯西积分定理：单连域内解析积分为零。

如果函数f(z)在单连域E内解析，那么积分　只与起点与终点有关，与连接点和终点的路径无关。

由于复变函数的积分为沿着有向曲线的积分，可以通过二元函数关于坐标的曲线积分式来获得。

若已知曲线的参数方程，则复变函数可以化为定积分计算，这时只要将被积函数f(z)的变量z换为z(t) = x(t) + iy(t) ,将dz 换为　z'(t)dt 即可。

对于解析函数的积分，由于积分与路径无关，可以通过与牛顿莱布尼兹公式相同来计算。

至于计算沿封闭路线的积分，往往以柯西积分定理、复合闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式为工具。

满足拉普拉斯方程，且具有二阶连续偏导的函数称为调和函数。

1.    任何一个在区域E上解析的函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y),其实部与虚部都是该区域上的调和函数。
2. 　如果u(x,y) 是区域E内的调和函数，则存在一个v(x,y) 使 u+iv 在E内解析。

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　　第三章　级数

• 一个函数的解析性与该函数能否级数展开是等价的。
• 罗朗级数

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• 对于一般复数列的讨论可以归结为对两个实数列的讨论。
• 对于一般复数项级数的讨论可以归结为对实数项级数的讨论。

复变函数项级数： f₁(z) + f₂(z) + .... + f_n(z) + ... 

幂级数是一种特殊复变函数项级数。以c_n(z-z₀)ⁿ为一般项。

幂级数与解析函数有密切关系：

1. 幂级数在一定区域内收敛于一个解析函数
2. 一个解析函数在其解析点的领域内能展开成幂级数。

阿贝尔定理　　收敛圆和收敛半径

达朗贝尔公式

柯西公式

在收敛圆内，幂级数和和函数是解析函数。即，任何一个收敛半径大于零的幂级数在其收敛圆内代表一个解析函数。

泰勒定理　　能展成幂级数

f(z)在区域E内解析的充要条件是　f(z)　在E内任一点z₀的领域内可以马尔代展成(z - z₀)的幂级数，即泰勒级数。

如果z = z₀是f(z) 的奇点，那么在奇点的领域内就不能展开成泰勒级数。

罗朗级数

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第四章　留数理论

• 孤立奇点的分类和性质
• 留数的求法
• 用留数定理计算实函数积分和无穷限广义积分

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如果f(z) 在　z₀点去心领域内解析，而z₀点不解析，称z₀为f(z)的孤立奇点。

1. 如果f(z) 在z₀点的主要部分全部等于零，称z₀为f(z)的可去奇点
2. 如果f(z) 在z₀点的主要部分只有有限项m , 　称z₀为f(z)的m级极点。
3. 如果f(z) 在z₀点的主要部分有无穷多项，称z₀为f(z) 的本性奇点。

可去奇点判定　如果z₀为f(z) 的孤立奇点，下列三个条件是等价的：

1. f(z)在z₀点的主要部分为零。
2. limf(z) 存在。
3. f(z)　在点z₀的某去心领域有界

m级极点的判定　如果z₀为f(z)的孤立奇点，下列三个条件等价：

1. f(z)在z₀点的主要部分为
2. f(z)在点z₀的某去心领域内能表示成
3. g(z)=1/f(z) 以z₀　为m 级零点

留数定理　把沿封闭曲线积分的整体问题，化为计算其各孤立奇点处留数的局部问题。

留数求法

1. 可去奇点：若z₀为f(z)的可去，面积分Res{f(z),z₀} = 0.
2. 极点：
3. 本性奇点：通过罗朗展开式来求留数。

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第五章　保角映射

 

• 映射的旋转角不变性　解析函数的导数幅角的几何意义。
• 映射的保角性　映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的特性。　
• 伸缩率的不变性　当z₀取定后，伸缩率|f'(z₀)|是确定的，从而与过点z₀的曲线C的选择无关。　
• 保角映射　设w = f(z) 在z₀的领域内有定义，若映射　w = f(z) 在点z₀　有保角性（大小、方向不变）和伸缩率不变性，称映射w 在点z₀是保角的，或w = f(z) 在z₀处是保角映射。

若　w= f(z) 在区域E内解析，则它在E内导数不为零的点处是保角的。

上述保角映射不仅保持曲线夹角的大小不变而且夹角的方向不变。仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射称为第二类保角映射。

• 分式线性映射　

任何一个分式线性映射可由两种典型的映射复合而成。

•  分式线性映射在扩充的复平面上是一一对应的，具有保圆性的保角映射。

这里的保圆性是指：在分式线性映射下，将圆周（直线）映射成圆周（直线）。

也就是说，如果给定的圆周或直线上没有点映射或者无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周，如果有一点映射成无穷远点，那么它就映射成直线。

•  分式线性映射除了保圆性之外，还有保对称性。
• 三种重要的分式线性映射：上半平面映射上半平面，上半平面映射单位圆域，单位圆域映射成单位圆域。

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现在，终于切入正题了。。。

第六章　傅里叶变换

后面本来做了一大堆的笔记，吃完饭回来IE死在那了。。。