在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个矢量的系数。
简单举例：
- 求
的极值 - 条件
引入新变量拉格朗日乘数
，即可求解下列拉格朗日方程
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
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介绍
图1：绿线标出的是约束g(x,y) = c的点的轨迹。蓝线是f的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。先看一个二维的例子：假设有函数：f(x,y)，要求其极值（最大值/最小值），且
c 为常数。对不同
的值，不难想像出
的等高线。而方程
的等高线正好是
。想像我们沿着
的等高线走；因为大部分情况下
和的等高线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想像此时我们移动
上的点，因为是连续的方程，我们因此能走到
更高或更低的等高线上，也就是说可以变大或变小。只有当
和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着
和走。这种情况下，会出现极值或鞍点。
气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。
用矢量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着和的斜率在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：
且λ ≠ 0.
一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。
= 
新方程
在达到极值时与
相等，因为
达到极值时
总等于零。
求此方程的最大值：
同时未知数满足
因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数.
将所有
方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0