极限，比如说数列极限，简单讲来说的是“当n越来越大时，数列({{ a}_{n}})越来越靠近实数L”，是一种动态过程，而其正式定义，也称为数列极限的(ε, N)定义，却这么描述：设 (left{ a_{n} ight}) 为数列，(a) 为定数，若对任给的正数 (varepsilon), 总存在正整数 (N),使得当(n > N)时有(left| a_{n} - a ight| < varepsilon)，则称数列 (left{ a_{n} ight}) 收敛于(a)，定数(a)称为数列 (left{ a_{n} ight})的极限1。初学者对极限的直观印象在这种定义里几乎完全得不到反映，好多学生看后不知所言为何物，然后却又不得不马上拿着这个定义去证明各种极限，即便是最后很机械地、按部就班地凑出了该定义要求的形式，学生们对这一切还是耿耿于怀，不知道自己在干什么，究其原因是因为这个定义不够直观、不容易从中看出极限的“影子”，更具体来讲，极限最初在我们的直观认识里是一个动态概念，如本文一开始所说的那样，它是一种动态过程，但在该定义里这种动态过程并没有得到体现，所以这个定义也被称为极限的静态（static）定义2，本文将提出一种更直观的数列极限的动态（dynamic）定义，然后阐明它和静态定义的关系，并提出几条教学建议。
下文将先用苏格拉底教学法（Socratic method）行文，旨在通过启发性的方式一步一步地构建出严谨的数列极限动态定义。
师：当n越来越大时，数列({{ a}_{n}})越来越靠近极限值L。这一现象用数学语言怎么描述？
生：对于数列中任意一项(a_{p})及其后面任意一项(a_{q})有({|a}_{p} - L| > {|a}_{q} - L|)。如果我们拿这个条件来以(a_{q})作为起点的话，那么其后必有任意一项(a_{r}满足{|a}_{q} - L| > {|a}_{r} - L|)，这样如果先记(a_{p})，(a_{q})，(a_{r})三项的下标p，q，r分别为(n_{1}, n_{2},n_{3})，用同样的方法后续我们还可以找到(n_{4}, n_{5},n_{6},ldots)以至于有
[{|a}_{n_{1}} - Lleft| > {|a}_{n_{2}} - L ight| > {|a}_{n_{3}} - L| > ldots]
这实际上是上面的约束条件的另外一种等价表述，该不等式表达了“后面的项总比前面的项更靠近极限”这个意思。
师：如果要让你的描述对常数数列的极限情况仍然适用，该怎么修改？
生：那应该改成(geq)，即：对于数列中任意一项(a_{p})及其后面任意一项(a_{q})有({|a}_{p} - L| geq {|a}_{q} - L|)。
师：现在让我们来看(y = frac{sin x}{x})，当x越来越大时，也即分母越来越大时，由于分子sinx始终在-1到1之间，所以函数值在x越来越大时越来越靠近0。
现在我们构造一数列({{ a}_{n}})，每个(a_{n})的值均是((n-1)π, nπ)上函数值域中的任意一个，那么该数列有极限吗？如果有，极限是多少？
生：有极限，值为0。因为函数值在x越来越大时整体越来越靠近0，从各区间((n-1)π, nπ)上函数值域中任意取出来的值组成的数列也符合这一趋势，所以数列({{ a}_{n}})的极限也是0。
师：很好！那对于该数列的极限你之前的数学语言还适用吗？
生：我发现这种情形下可能会有({|a}_{p}| < |a_{q}|)的情况，而这里L=0，所以就不会有({|a}_{p} - L| geq {|a}_{q} - L|)这个结果了，所以只有把“任意的(a_{q})”改成“存在(a_{q})”才行，即：对于数列中任意一项(a_{p})，其后总存在(a_{q})使得({|a}_{p} - L| geq {|a}_{q} - L|)。
师：对，在极限过程中并非后面的项都比前面的项更靠近极限，而是存在后面的项比前面的项更靠近极限，这个例子加深了我们对极限现象的准确掌握。
生：是的，确实有了进一步的认识。
师：如果将数列({frac{1}{n}})的前10000项都换为0，那么这个数列的极限还是不是0的？
生：呃……也是，毕竟极限研究更关心的是数列足够靠后的所有项的表现，前面有限多项的值是什么我们并不关心。
师：好，认识到这点之后你刚才的数学语言仍能描述这种情况吗？
生：不能了，如果(a_{p} = a_{10000} = 0)，那么(a_{p})的后面就找不到(a_{q})使得({|a}_{p} - L| geq {|a}_{q} - L|)了。所以不能说(a_{p})也是可以任意取的了，(a_{p})的选取要看数列中是否存在有限个（正整数个）值为极限值的项，如果存在，那么可以要求(a_{p})取数列中值为极限值的最后那一项之后的任意一项，否则的话(a_{p})可任取。所以我的表述可以修改为：对于数列中某项之后的任意(a_{p})（这里的“某项”要看数列中是否存在正整数个值为L的项来定），其后总存在(a_{q})使得({|a}_{p} - L| geq {|a}_{q} - L|)。这里因为(a_{p})的选取条件导致整个描述稍显啰嗦，不够简洁，所以可改成另外一种更简洁的表述：存在(a_{n_{1}})，(a_{n_{2}})，(a_{n_{3}})，…满足({|a}_{n_{1}} - L| geq {|a}_{n_{2}} - L| geq {|a}_{n_{3}} - L| geq ldots)，其中(n_{1}, n_{2},n_{3},ldots)均是原数列中满足本不等式的任意一项的下标，并且(n_{1} < n_{2} < n_{3} < ldots)。
师：对于数列({frac{1}{n}})，当n越来越大时，(frac{1}{n})越来越靠近0，但(frac{1}{n})是不是也越来越靠近(- 1)呢？
生：呃……也是啊！
师：你现在的极限语言排除得了这种情况吗？
生：不能。
师：所以你现在的描述只反映出总有后面的项比前面的项更接近于L，没反映出数列({{ a}_{n}})足够靠后的所有项可以无限接近L，或者说没有限制足够靠后的所有项接近的只能是L而不是其它数。
生：是哦！那么我认为还必须要求自某一项之后的所有项和L的差值都小于预先任意指定的足够小的正数，这一要求用数学符号语言可以表述为：总有某项之后的所有(a_{n})满足({|a}_{n} - L| < varepsilon)，这里ε是足够小的正实数。
师：ε取1可以吗？
生：呃……也可以，不过1不够小，换为0.1似乎会更好点。
师：那为什么0.1可以而1就不妥呢？你判断的标准是什么？
生：我只是凭感觉觉得1似乎不能当作足够小的正实数，0.1倒是可以。
师：数学理论是不能靠着这种模糊不清的凭感觉的方式提出的，你必须给“足够小的正实数”一个明确的定义才行。
生：不妨定义任何在( (0, frac{1}{10^{M}} brack)内的数都是“足够小的正实数”，其中(M)是预先任意指定的正整数，简单起见，我们甚至可以直接取ε为(frac{1}{10^{M}})，即(varepsilon = frac{1}{10^{M}})。这样前面这个条件就应该改成：总有某项之后的所有(a_{n})满足({|a}_{n} - L| < frac{1}{10^{M}})，这里M是预先任意指定的正整数。
师：哈，孺子可教也！
生：承蒙老师指点！
至此，我们就得出了能完全描述数列极限现象的两个条件：
总有后面的项比前面的项更接近于实数L，对应的数学语言描述是：存在(a_{n_{1}})，(a_{n_{2}})，(a_{n_{3}})，…满足({|a}_{n_{1}} - L| geq {|a}_{n_{2}} - L| geq {|a}_{n_{3}} - L| geq ldots)，其中(n_{1}, n_{2},n_{3},ldots)均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标，且(n_{1} < n_{2} < n_{3} < ldots)。
足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度，对应的数学语言描述是：总有某项之后的所有(a_{n})满足({|a}_{n} - L| < frac{1}{10^{M}})，此处M是预先任意指定的正整数，这里的“某项”只能通过解这个不等式来确定。
任何满足上述两个条件的实数L就称为数列({{ a}_{n}})的极限，极限的动态过程在条件（1）里得到了反映，所以我们可以把上述两个条件看作是数列极限的动态定义。
现在让我们回头再看最初对数列极限的感性认识：“当n越来越大时，数列({{ a}_{n}})越来越靠近极限值L”，这种认识反映的只是上述的条件（1）而疏漏了条件（2），由此可见这种直观认识的缺陷，作为修正，我们可以这么说：如果当n越来越大时，数列({{ a}_{n}})越来越靠近实数L，并且足够靠后的所有项可以接近实数L到任意程度，则称L是({{ a}_{n}})的极限。
再看极限的(ε, N)定义，该定义反映不出极限的动态性，它只表明对于任给的正数(varepsilon)总有某项之后的所有(a_{n})满足({|a}_{n} - L| < varepsilon)，其次，为了说明数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度，该定义用了任意指定的正数ε来限定二者间的差距，然而这是一种很松散的、模棱两可的限定，因为ε即可以往小了取也可以往大了取，自然就不能够明确反映出“数列里足够靠后的所有项可以接近极限值到任意程度”这层意思，所以在本文给出的极限动态定义中直接用(frac{1}{10^{M}})取代ε，因为对于(frac{1}{10^{n}})，当n越来越大时，(frac{1}{10^{n}})便会越来越小，越来越靠近0，变得要多小有多小，所以笔者相信用(frac{1}{10^{M}})取代ε能反映出数列里的项可以接近极限值到任意程度这层意思，请读者就此再次回顾条件（2）。
实际上有了条件（2）便自然有条件（1），证明：取满足({frac{1}{10^{M}} > |a}_{n} - L|)的一项为(a_{n_{1}})，如果数列中有正整数个值为L的项，那么可以要求(a_{n_{1}})取数列中值为L的最后那一项之后的任意一项，然后取满足(|a_{n_{1}} - L| geq {|a}_{n} - L|)的一项为(a_{n_{2}})，取满足(|a_{n_{2}} - L| geq {|a}_{n} - L|)的一项为(a_{n_{3}})，…其中(n_{1}, n_{2},n_{3},ldots)均是原数列里满足本不等式的任意一项的下标，并且(n_{1} < n_{2} < n_{3} < ldots)，显然(a_{n_{1}})，(a_{n_{2}})，(a_{n_{3}})，…能满足条件（1）。所以从逻辑角度来看，条件（1）不是必要的，但如果把条件（1）去掉，那么极限的“动态性”便得不到反映了。实际上把条件（2）里的(frac{1}{10^{M}})换回ε便是我们既熟悉又陌生的数列极限的(ε, N)定义3，也就是说去掉条件（1）之后极限的动态定义就变成了静态定义，但静态定义相比于动态定义并不能很贴切地、很直观地反映极限现象。所以虽然从逻辑角度来看条件（1）是多余的，但从认知角度来看它的存在却是大有裨益的——它反映着极限的动态性，它使得极限定义更加符合我们的直观认识，没有了它的极限静态定义会在理解上给学生带来很大的困难。所以笔者提议：（1）以本文的动态定义作为数列极限的标准定义，因为它使得极限定义更加符合我们的直观认识，进而就可以避免静态定义给学生造成的那些理解上的困难；（2）以现在教材里的(ε, N)定义作为极限值的判定方法，因为它相比极限动态定义更简洁，用来判定极限自然就比动态定义更方便；（3）如果前两条建议都得不到采纳， 那么至少应该介绍一下如何从极限动态定义走向静态定义，否则的话当前不少学生受极限静态定义之苦的局面仍然得不到解决；（4）函数极限的(ε, δ)定义也同样给学生们带来了不符合直觉的困惑，可以考虑用海涅（Eduard Heine）的极限定义来作为函数极限的正式定义4（具体是：对于任何一个收敛于(x_{0})的数列({{ x}_{n}})，且各个(x_{n} eq x_{0})，如果数列({{ f(x}_{n})})的极限是L，那么我们说L是(f(x))在(x_{0})处的极限），因为该定义更能反映出函数极限的动态性。 (ε, δ)定义可用来作为判定极限值的方法。