COGS2259 异化多肽

传送门

听说是多项式求逆的模板题，以后不怕没地方练多项式求逆啦哈哈……

……

我们设使用一个氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量这个数列为${a_n}$，设它的生成函数为$A(x)$，显然有

egin{align}A(x)=sum_{i=0}^infty sum_{j=0}^m[C_j=i]end{align}

即$A(x)$的$i$次方系数即为相对分子质量为$i$的氨基酸数量。

我们要求的是一个数列${b_n}$，它的第$n$项即为使用任意数目的氨基酸能组成质量为$n$的多肽数量，设它的生成函数为$B(x)$，那么有

egin{align}A(x)=sum_{i=0}^infty B(x)^iend{align}

右边化成封闭形式，得

egin{align}A(x)=frac 1{1-B(x)}end{align}

多项式求逆即可，答案即为$[x^n]A(x)$。顺便一提，1005060097的原根是5。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=262200,p=1005060097,g=5;
void NTT(int*,int,int);
void getinv(int*,int*,int);
int qpow(int,int,int);
int n,m,N=1,x,A[maxn]={0},B[maxn];
int main(){
    freopen("polypeptide.in","r",stdin);
    freopen("polypeptide.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(N<=n)N<<=1;
    while(m--){
        scanf("%d",&x);
        A[x]=(A[x]+p-1)%p;
    }
    A[0]=(A[0]+1)%p;
    getinv(A,B,N);
    printf("%d",B[n]);
    return 0;
}
void NTT(int *A,int n,int tp){
    for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){
        k=n;
        do j^=(k>>=1);while(j<k);
        if(i<j)swap(A[i],A[j]);
    }
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p);
        for(int i=0;i<n;i+=k){
            int w=1;
            for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){
                int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p;
                A[i+j]=(a+b)%p;
                A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p;
            }
        }
    }
    if(tp<0){
        int inv=qpow(n,p-2,p);
        for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
    }
}
void getinv(int *A,int *C,int n){
    static int B[maxn];
    fill(C,C+n,0);
    C[0]=qpow(A[0],p-2,p);
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        copy(A,A+k,B);
        fill(B+k,B+(k<<1),0);
        NTT(B,k<<1,1);
        NTT(C,k<<1,1);
        for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=C[i]*((2-((long long)B[i]*C[i]%p)+p)%p)%p;
        NTT(C,k<<1,-1);
        fill(C+k,C+(k<<1),0);
    }
}
int qpow(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
    return ans;
}

其实我对NTT和生成函数只是刚入门而已……我们的征途是星辰大海……