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论一类脑筋急转弯题和奇技淫巧题的解题技巧

【题意】

给定n个长为m且只包含xyz的字符串，定义两个字符串的相似程度为它们对应位置相同字符个数(比如xyz和yyz的相似程度为2，后两位相同)，分别求出相似度为0~m的无序字符串对数。

【样例】

输入：

4 3

xyz

xyz

zzx

xzz

输出：

2

1

2

1

解释：

(xyz,zzx)(xyz,zzx)相似度为0，(zzx,xzz)相似度为1，(xyz,xzz) (xyz,xzz)相似度为2，(xyz,xyz)相似度为3。

【数据范围与约定】

共20个测试点。

对于测试点1，n<=10。

对于测试点2,3，n*m≤1000。

对于测试点4，所有单词都相同。

对于测试点5，m＝1。

对于测试点6~10，所有单词只包含x和y这两个字符。

对于全部测试点，n*m<=100000。

注意时间限制是3s。

【解法】

不得不说这个题的解法真特么机智……脑筋急转弯……

先想暴力，暴力枚举C(n,2)个字符串对，每个对都用O(m)的时间暴力比较，复杂度O(n²m)。

观察一下数据范围，n*m<=100000。换句话说，m>30的时候直接暴力即可(经计算m=31时n²m=322419375，况且还有0.5的常数，实测无压力)。剩下的就只有m<=30的情况了。

如果换个方向考虑，可以发现字符串的种类是有限的(最多3^m种)。所以，可以尝试对字符串三进制状压，然后只需枚举一遍字符串并从之前的所有3^m种字符串中枚举获得答案即可。这样的复杂度是O(n3^m)，对于m=30的情况来说实在是太大了，经计算大概只能到m=7~8的级别(m=8时n3^m=82012500，m=9时n3^m=328036878，由于三进制常数比较大，实际上m=7的时候就已经T了，当然你也可以用四进制减小常数)。

这样就麻烦了，m<7的时候可以三进制暴力，m>30的时候可以直接暴力，中间那些7<=m<=30的情况怎么搞？

回过头来看暴力，对于每个字符串对我们是用暴力比较的方式得出相似度的。但其实没这个必要，m<=30的时候完全可以把它压成三个二进制数x,y,z，分别表示对应位为x,y,z的下标集合。这样比较的时候就可以用二进制位运算O(1)得出两串的相同部分的集合(也是二进制数)，再O(1)数出里面的1的个数，比较就压到O(1)了。至于统计1个数，我用的是14年沈洋论文里的递推法，具体可以看沈洋的论文。

最后总结解法：

对于不同的m分类讨论。

m<7时，三进制状压暴力。

7<=m<=30时，压位后暴力。

m>30时，直接暴力。

贴个代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#define cntone(x) ((one[((x)&(65535))])+(one[((x)>>(16))]))
using namespace std;
const int maxn=100010;
int n,m,one[maxn]={0},cnt[maxn]={0},x[maxn],y[maxn],z[maxn],pw[maxn];
long long ans[maxn]={0};
char c[maxn];
string s[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",c);
        s[i]=c;
    }
    if(m<7){
        pw[0]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int val=0;
            for(int j=0;j<m;j++)val=val*3+s[i][j]-'x';
            for(int k=0;k<pw[m];k++){
                int tmp=0;
                for(int j=0;j<m;j++)if((k/pw[j])%3==(val/pw[j])%3)tmp++;
                ans[tmp]+=cnt[k];
            }
            cnt[val]++;
        }
    }
    else if(m<31){
        for(int i=1;i<65536;i++)one[i]=one[i>>1]+(i&1);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(s[i][j]=='x')x[i]|=1<<j;
                else if(s[i][j]=='y')y[i]|=1<<j;
                else z[i]|=1<<j;
            }
            for(int j=1;j<i;j++)ans[cntone((x[i]&x[j])|(y[i]&y[j])|(z[i]&z[j]))]++;
        }
    }
    else{
        for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<i;j++){
            int tmp=0;
            for(int k=0;k<m;k++)if(s[i][k]==s[j][k])tmp++;
            ans[tmp]++;
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)printf("%lld
",ans[i]);
    return 0;
}

【后记】

好像m>30的时候也可以压位优化(多压几个int)，不过懒得写了。

这题真特么脑筋急转弯……被今天的三道脑筋急转弯题坑惨了……