切糕
题目
经过千辛万苦小A 得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小A 打算拦腰将切糕切成两半分给小B。出于美观考虑，小A 希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。出于简便考虑，我们将切糕视作一个长P、宽Q、高R 的长方体点阵。我们将位于第z层中第x 行、第y 列上(1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值v(x,y,z)。一个合法的切面满足以下两个条件：
- 与每个纵轴(一共有P×Q 个纵轴)有且仅有一个交点。即切面是一个函数f(x,y)，对于所有1≤x≤P, 1≤y≤Q,我们需指定一个切割点f(x,y),且1≤f(x,y)≤R。
- 切面需要满足一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有的1≤x,x’≤P 和1≤y,y’ ≤Q，若|x-x’|+|y-y’|=1，则|f(x,y)-f(x’,y’)| ≤D，其中D 是给定的一个非负整数。
可能有许多切面f 满足上面的条件，小A 希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个，即v(x, y, f (x, y))x,y最小。INPUT
从文件input.txt中读入数据，输入文件第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P,1≤y≤Q, 1≤z≤R)。100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。OUTPUT
输出文件output.txt 仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。SAMPLE
INPUT1
2 2 216 16 12 62 6OUTPUT1
6INPUT2
2 2 205 15 12 52 5OUTPUT2
12EXPLAIN
第一组样例中最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1。第二组样例中最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=f(1,2)=f(2,2)=1。
解题报告
极其（！@#）的一道题，反正我在建边时蒙成了（！@#）。
由题意得知，显然为最小割模型，将点权转化为边权。由S向(x,y,1)连边，边权为v(x, y,1)。由(x, y, z)向(x, y, z+1)连边，边权为v(x, y, z+1)。
最后由(x, y, R)向T连边，边权为INF。此题关键为这个选择的距离限制。
我们可以这样解决：由每个点向它相邻的点的下方的第d个点连边。也就由(x, y, z)向(x, y, z-d)连边，边权为INF。
首先，假设每条纵轴只割一条边。若两条边的距离大于d，一定会有图中所示路径，此时仍需要再割一条边。
假设再割一条右侧的边，此边与左边割掉的那条边的距离要 ≤ d，否则还会出现这样的路径。
只有距离 ≤ d，才能截断。
但此时，右边第一次截断的边已经没有必要了。因为只要上面两条边就可以截断了。
因此，每个纵轴只截断一条边，且相邻截断的边距离一定 ≤ d。
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 #include<queue> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 int sum(0); 8 char ch(getchar()); 9 for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()); 10 for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar()); 11 return sum; 12 } 13 struct edge{ 14 int e,n,w; 15 }a[1000001]; 16 int pre[64500],tot; 17 inline void insert(int s,int e,int w){ 18 a[tot].e=e; 19 a[tot].w=w; 20 a[tot].n=pre[s]; 21 pre[s]=tot++; 22 } 23 int p,q,r,d; 24 int id[41][41][41],w[41][41][41]; 25 int cnt(0); 26 int S(0),T; 27 int ans(0),inf(0x7fffffff); 28 int dis[64500]; 29 inline bool bfs(int s,int t){ 30 memset(dis,0,sizeof(dis)); 31 dis[s]=1; 32 queue<int>q; 33 q.push(s); 34 while(!q.empty()){ 35 int k(q.front()); 36 q.pop(); 37 for(int i=pre[k];i!=-1;i=a[i].n){ 38 int e(a[i].e); 39 if(!dis[e]&&a[i].w){ 40 dis[e]=dis[k]+1; 41 q.push(e); 42 if(e==t) 43 return true; 44 } 45 } 46 } 47 return false; 48 } 49 inline int my_min(int a,int b){ 50 return a<b?a:b; 51 } 52 inline int dfs(int now,int flow){ 53 if(now==T) 54 return flow; 55 int tmp(flow),f; 56 for(int i=pre[now];i!=-1;i=a[i].n){ 57 int e(a[i].e); 58 if(dis[e]==dis[now]+1&&tmp&&a[i].w){ 59 f=dfs(e,my_min(tmp,a[i].w)); 60 if(!f){ 61 dis[e]=0; 62 continue; 63 } 64 a[i].w-=f; 65 a[i^1].w+=f; 66 tmp-=f; 67 } 68 } 69 return flow-tmp; 70 } 71 inline int gg(){ 72 freopen("nutcake.in","r",stdin); 73 freopen("nutcake.out","w",stdout); 74 memset(pre,-1,sizeof(pre)); 75 p=read(),q=read(),r=read(),d=read(); 76 T=p*q*r+1; 77 for(int i=1;i<=r;i++) 78 for(int j=1;j<=p;j++) 79 for(int k=1;k<=q;k++){ 80 w[i][j][k]=read(); 81 id[i][j][k]=++cnt; 82 insert(id[i-1][j][k],id[i][j][k],w[i][j][k]),insert(id[i][j][k],id[i-1][j][k],0); 83 if(i==r) 84 insert(id[i][j][k],T,inf),insert(T,id[i][j][k],0); 85 if(i>d){ 86 if(j!=1) 87 insert(id[i][j][k],id[i-d][j-1][k],inf),insert(id[i-d][j-1][k],id[i][j][k],0); 88 if(j!=p) 89 insert(id[i][j][k],id[i-d][j+1][k],inf),insert(id[i-d][j+1][k],id[i][j][k],0); 90 if(k!=1) 91 insert(id[i][j][k],id[i-d][j][k-1],inf),insert(id[i-d][j][k-1],id[i][j][k],0); 92 if(k!=q) 93 insert(id[i][j][k],id[i-d][j][k+1],inf),insert(id[i-d][j][k+1],id[i][j][k],0); 94 } 95 } 96 while(bfs(S,T)) 97 ans+=dfs(S,inf); 98 printf("%d",ans); 99 return 0; 100 } 101 int K(gg()); 102 int main(){;}