网络流

最大流/最小割

• 增量建图
• 最大权闭合子图
• 二分检验
• 最小割一定要找全矛盾关系，如文理分科 选文选理，同选文同选理矛盾
• 最大流的一个单位流量经过的点代表的是这个点的特征
• 最小割就是如果能从S到T，那么这条路就是非法的，如果单个点矛盾关系不是很多，可以建立每个点和所有矛盾关系之间的
• 先处理好局部的关系，再拓展到全局，如：employ人员雇佣 对于两点a,b之间存在 选a选b 减去$c_a,c_b$ 选a,b其中一个 减$E_{a,b}*2,c_a/c_b$,不选a,b减$E_{a,b}$
• 然后可以发现，如果不选i，那么所有的$E_{i,j}$都得不到，所以可以连边表示$sum_i$与$c_i$的取舍关系，发现只选一个还要多减，再连边$a->b,b->a$
• 这样如果两条与源点相连的边被割掉合法，两条与汇点割掉也合法，当只有一个割掉的时候，S与未选点之间还是有流量，流向所有的已选点，满足题意。

inline bool bfs()
{
    memset(d,0,sizeof d);
    d[q[h=t=0]=S]=1;hd[S]=head[S];
    while(h<=t)
    {
        int x=q[h++];
        for(int i=head[x],y;i;i=nxt[i])
        {
            if(!val[i]||d[y=to[i]]) continue;
            d[q[++t]=y]=d[x]+1;hd[y]=head[y];
            if(y==T) return 1;
        }
    }
    return 0;
}
int dfs(int x,int f)
{
    if(!f||x==T) return f;
    int las=f;
    for(int &i=hd[x],y;i;i=nxt[i])
    {
        if(!val[i]||d[y=to[i]]!=d[x]+1) continue;
        int t=dfs(y,min(las,val[i]));
        if(t) val[i]-=t,val[i^1]+=t,las-=t;
        else d[y]=0;
        if(!las) return f;
    }
    return f-las;
}

费用流

• 费用流还是满足一个单位流量的特征
• 一般最大流来保证满足题设，费用是最优化花费
• 灵活转化题意。
• 有些题要求每个点均遍历一遍，可以转化为每个点的入度出度均为1，可以想到拆点，把一个点拆成入点和出点，限流最大流量为n，直接最小费用最大流
• 有些题要求一定要跑满，可以把你想跑满的边的边权设为-inf，最后再加上，这样保证跑想跑的边一定比其他的费用小，可以说是skyh对网络流的深刻理解。
• 对于有一些问题子集分化不明显，考虑利用条件把其转化为二分图。如：数字配对，千钧一发
• 有一些简单的优化 如：动态开点，不要思维僵化只想增量枚举！！！费用流不能跑在残量网络上跑。
• 一类套路：配对问题考虑利用特殊性质转化为二分图
• 网格图优先想黑白染色！！！！

上下界网络流

• 其实就是想办法把下届的条件去掉
• 无源汇可行流是基础，先构造一个不满足流量守恒，跑满下届，再跑一个附加流，建虚拟源汇点，调整每个点的出入流量，跑就完了。
• 对于有源汇的，因为S和T不满足流量守恒，建一条从T到S的INF边就好了
• 最大流和最小流都是通过在残量网络上跑来实现的。
• 如果虚拟源汇点跑满了，说明存在合法解，此时的残量网络是一个合法解，但是不一定是我们想要的。