JC的小苹果 逆矩阵

这题主要有两种做法：1种是用逆矩阵，转移时无须高斯消元。2是将常数项回代。这里主要介绍第一种。

首先题里少个条件：点权非负。设f [ i ][ j ]表示hp为i时，到达j点的期望次数。

那么若点权为正，直接转移：f [ i + w[ j ] ][ i ]对f [ i ][ j ]的贡献为f[ i+w[j] ]/d[ i ]（d[i]表示点i的出度）

若点权为0，则需高斯消元，单次消元复杂度（n^3）显然会炸，我们考虑优化。、

对于高斯消元，有一个结论：系数矩阵*答案矩阵=常数矩阵（用方程组的定义来理解，挺简单的，虽然我想了好久）

将系数矩阵换到右边，就变成了 答案矩阵=常数矩阵×系数矩阵的逆

对于本题而言，系数矩阵是不变的，变化的只有常数矩阵，而常数矩阵O（m）即可处理出，因此我们可以预处理出系数矩阵的逆矩阵,之后每次只需将逆矩阵与常数矩阵相乘，而常数矩阵为一个列向量，每次乘法复杂度O（n^2）,总复杂度O（(n^2+m)hp+n^3）。

对于矩阵求逆只需将原矩阵高斯消元，然后不管什么操作都对一个单位矩阵做同等变换，单位矩阵在消完元后也就变成了原矩阵的逆矩阵。

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
using namespace std;
int n,m,hp,a[155],tot,to[10005],fi[155],ne[10005],du[155];
double c[155][155],b[155][155],d[155][155],f[10005][152],dp[152],ans;
inline void add(int x,int y)
{
    ne[++tot]=fi[x];
    fi[x]=tot;
    to[tot]=y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&hp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),du[x]++;
        if(x!=y)
            add(y,x),du[y]++;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=fi[i];j;j=ne[j])
        {
            int y=to[j];
            if(!a[y])
            {
                c[y][i]+=1.0/du[i];
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        b[i][i]=1,c[i][i]--;
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          int k=i;
          for(int j=i+1;j<=n;j++)
              if(fabs(c[j][i])>fabs(c[k][i]))
                  k=j;
          for(int j=1;j<=n;j++)swap(c[i][j],c[k][j]),swap(b[i][j],b[k][j]);
          if(fabs(c[i][i])<eps)continue;
          double r=c[i][i];
          for(int j=1;j<=n;j++)
              c[i][j]/=r,b[i][j]/=r;
          for(int j=1;j<=n;j++)
          {
              if(i==j)continue;
              double r=c[j][i];
              for(int k=1;k<=n;k++)
                  c[j][k]-=r*c[i][k],b[j][k]-=r*b[i][k];
          }
      }
      f[hp][1]=-1;
    for(int i=hp;i;i--)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                dp[j]+=f[i][k]*b[j][k];
        ans+=dp[n];
        for(int j=1;j<n;j++)
        {
            for(int k=fi[j];k;k=ne[k])
            {
                int y=to[k];
                if(a[y]&&i>a[y])
                    f[i-a[y]][y]-=1.0*dp[j]/du[j];
            }
            dp[j]=0;
        }
        dp[n]=0;
    }
    printf("%.8lf",ans);
    return 0;
}