CF407C.Curious Array k阶差分

CF407C.Curious Array k阶差分

题意

给定长度为(n)的数组(a)，进行(m)次修改，每次修改给定(l ,r,k)，给区间([l,r])加上(inom{j - l_i + k_i}{k_i})

求所有修改以后每个数的值

[1 leq n,mleq10^5\ 0leq a_i leq 10^9\ 1leq l_i leq r_i leq n,0leq k leq 100 ]

分析

尝试从(k)比较小来入手，显然给定的(a)初始大小我们并不关心

考虑(a)数组的差分数组

1阶差分

[inom{k-1}{k-1},inom{k}{1}...inom{r-l+k-1}{k-1}\ ]

二阶差分

[inom{k-2}{k-2},inom{k-1}{k-2}...inom{r-l+k-2}{k-2} ]

(n)阶差分

[inom{k-n}{k-n},inom{k-n+1}{k-n}...inom{k-l+k-n}{k-n} ]

如果能够维护(n)阶差分数组，就可以最后对差分数组做前缀和还原出原数组，容易发现最多进行(k+1)次差分后全部变为0，再注意维护r+1$的位置

他们的和就是(sum_{i=0}^kinom{r-l+k-i}{r-l} = inom{r-l+k-i+1}{k-i+1})

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<ll,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> VI;

inline ll rd(){
    ll x;
    scanf("%lld",&x);
    return x;
}

const int MOD = (int)1e9 + 7;

inline void add(int &a,int b){
    a += b;
    if(a >= MOD) a -= MOD;
}

inline int mul(int a,int b){
    return (ll)a * b % MOD;
}

inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
    int ans = 1;
    int base = a;
    while(b){
        if(b & 1) ans = mul(ans,base);
        base = mul(base,base);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}


const int maxn = 2e5 + 5;

int iv[maxn];
int fac[maxn];

inline int C(int n,int m){
    if(n < m) return 0;
    return mul(fac[n],mul(iv[m],iv[n - m]));
}

int ans[maxn][105];
int a[maxn];

int main(){
    fac[0] = iv[0] = 1;
    for(int i = 1;i < maxn;i++)
        fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
    iv[maxn - 1] = ksm(fac[maxn - 1]);
    for(int i = maxn - 2;i;i--)
        iv[i] = mul(iv[i + 1],i + 1);
    int n = rd();
    int m = rd();
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        a[i] = rd();
    for(int i = 0;i < m;i++){
        int l = rd();
        int r = rd();
        int k = rd();
        for(int j = 0;j <= k;j++){
            add(ans[l][j],C(k,k - j));
        }
        for(int j = 0;j <= k;j++){
            add(ans[r + 1][j],MOD - C(r - l + k + 1,k - j));
        }
    }
    for(int i = 1;i < n;i++)
        for(int j = 101;j >= 1;j--)
            add(ans[i + 1][j - 1],(ans[i][j] + ans[i][j - 1]) % MOD);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        printf("%d ",(ans[i][0] + a[i]) % MOD);
}