P5495 Dirichlet前缀和

P5495 Dirichlet前缀和

题意

给定长度为(n)的序列(a_i)，求出长度为(n)的数列(b)满足

[b_k = sum_{i|k}a_i ]

对(b)取模(2^{32})

[1 leq n leq 2 imes10^7 ]

分析

(a_i)贡献到(b_j)当且仅当任意(k)，(alpha_k leq eta_k)，其中(alpha ,eta)分别为(p_k)的指数

实际上就是对于质因子的高维前缀和，用处理高维前缀和的一般方法即可

[T(n) =sum_p lfloor frac{n}{p} floor = O(nloglogn) ]

代码

	for(int i = 0;i < cnt;i++){
		for(int j = 1;j * prime[i] <= n;j++){
			a[prime[i] * j] += a[j]; 
		}
	}

高维前缀和

对于二维可以使用不容斥的方法

	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			a[i][j] += a[i][j - 1];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			a[i][j] += a[i - 1][j];

三维类似

	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

对于所有(0 leq i le 2^n - 1),求解(sum_{jsubset i} a_j)

若是枚举子集我们知道复杂度是(O(3^n))，若使用高维前缀和复杂度可以降为(O(n2^n))

代码

	for(int j = 0;j < n;j++)
		for(int i = 0;i < (1 << n);i++)
			if((i >> j) & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];

由于(i)是正序枚举，计算时(i xor (1 << j))还在上层，因此直接加即可