HDU-4352 XHXJ's LIS 数位DP + 优化LIS + 状态压缩

HDU-4352 XHXJ's LIS 数位DP + 优化LIS + 状态压缩

一道很有教育意义的数位DP题目

题意

给定一个区间中，将区间的每一个数看成一个字符串，求这个区间内每个字符串的最大上升子序列等于(k)的个数。

[0 leq L leq R leq 2^{63} - 1\ 1 leq k leq10 ]

分析

拿到题目几乎没什么思路。因为涉及到LIS，但是数位DP的时候显然没办法存储这么多DP数组。

我们借鉴nlogn的LIS思想，考虑到最多只有10个数，不妨状态压缩用二进制的1表示该数计入LIS贡献，nlogn的LIS告诉我们每次只需找到第一个比当前数大的数并替换掉，就可以是等效的。

于是只需要照这个思路写，DP多增加一维状态就好了。

实际写的过程中，有以下问题：

看似状态只需要设置pos，state即可，但是这样的坏处是每次计算都需要初始化dp数组，对于T组数据显然无法承受，此时只需再增加一维k表示处理LIS = k的个数即可只需要在while外面初始化一次。

此题需要考虑前导0带来的影响，因为前导0不能算入LIS的贡献。

常用的剪枝：当前1的个数大于k时，直接return即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<long double,long double>
#define eps 1e-7
#define equals(a,b) (fabs(a - b) < eps)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll rd(){
	ll x = 0;
	int f = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){
		if(ch == '-') f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9'){
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return x * f;
}


int kase;
int cur;
vector<int> v;
ll dp[25][(1 << 10) + 10][12];

ll dfs(int pos,int st,int lim){
	int num = __builtin_popcount(st);
	if(pos < 0) return num == cur;
	if(num > cur) return 0;
	if(!lim && ~dp[pos][st][cur]) return dp[pos][st][cur];
	int l = lim ? v[pos] : 9;
	ll res = 0;
	for(int i = 0;i <= l;i++){
		if(!(st | i)) {
			res += dfs(pos - 1,0,lim && i == l);
			continue;
		}
		int j;
		int f = 0;
		for(j = i;(1 << j) <= st;j++){
			if((1 << j) & st) {
				f = 1;
				res += dfs(pos - 1,(st ^ (1 << j)) | (1 << i),lim && i == l);
				break;
			}
		}
		if(!f) res += dfs(pos - 1,st | (1 << j),lim && i == l);
	}
	if(!lim) dp[pos][st][cur] = res;
	return res;
}

ll cal(ll x){
	v.clear();
	while(x){
		v.push_back(x % 10);
		x /= 10;
	}
	return dfs(v.size() - 1,0,1);
}

int main(){
	int T = rd();
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	while(T--){
		ll a = rd();
		ll b = rd();
		int k = rd();
		cur = k;
		printf("Case #%d: %lld
",++kase,cal(b) - cal(a - 1));
	}
}