[BZOJ3294]放棋子

放棋子

题目描述

输入格式

输入第一行为两个整数n, m, c，即行数、列数和棋子的颜色数。
第二行包含c个正整数，即每个颜色的棋子数。
所有颜色的棋子总数保证不超过nm。
N,M<=30 C<=10 总棋子数有大于250的情况

输出格式

输出仅一行，即方案总数除以 1,000,000,009的余数。

样例

样例输入

4 2 2
3 1

样例输出

8

数据范围与提示

30% n,m<=10

看题解，觉得这道题挺水的，然而考试时候的我，只能打出来20分TLE的暴力

又是一道出现在组合数里的DP，不过跟地精比，这道题跟跟组合数关系还稍微大一点

既然是DP，我们先来想一想怎么进行状态转移

我们用$shu[o]$表示第$o$种棋子的数量，$g[o][i][j]$表示第$o$种棋子，占了$i$行$j$列，那首先想到的就是$g[o][i][j]=C_{i{ imes}j}^{shu[o]}$，但是仔细想一想这样算的话，这$shu[o]$个棋子可能并没有占满$i$行$j$列，你可能就只用了$x$行$y$列($x<i$，$j<y$)，这个时候要怎么办？答案容斥，也不知道为啥，最近老碰见它，我还老想不起来它，怎么斥就很明显了，用基础的$C_{i{ imes}j}^{shu[o]}$-每一个不占满的情况，所以就有$g[o][i][j]=C_{i{ imes}j}^{shu[o]}-{sum}g[o][x][y]{ imes}C_i^x{ imes}C_j^y$，保证$x{leq}i$，$y{ge}j$且$x=i$，$y=j$不同时满足，这很显然吧，然而我卡了好久，说一句吧，如果两个等号同时成立，那你就把要的也同时容斥掉了，为什么乘两个C应该就更好理解了吧，关于C的计算，直接杨辉三角，两层循环跑一遍就可以

我们算出来第$o$种之后，答案要的是前C种，那就需要算前o种的，照葫芦画瓢，我们用$f[o][i][j]$表示前$o$种棋子，占$i$行$j$列的方案数，这个就好想了，$f[o][i][j]={sum}f[o-1][x][y]{ imes}g[o][i-x][j-y]{ imes}C_i^x{ imes}C_j^y$，最后把所有的$f[C][i][j]$加起来就是最后的答案了

关于暴搜：我暴搜就只拿到了20分，就是把每个棋子都当作不同的去放，最后除以全排列就可以了，剪枝我没太剪成，想练一练暴搜的可以试一试这道题，还算是需要注意的细节比较多的

要开始集训了，希望过完这个暑假可以场场不暴零了吧

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxz 11
#define maxn 31
#define ll long long
const long long mod=1e9+9;
using namespace std;
int n,m,z;
ll ans;
int shu[maxz];
ll C[maxn*maxn][maxn*maxn];
ll g[maxz][maxn][maxn],f[maxz][maxn][maxn]={1};
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&z);
    for(int i=1;i<=z;++i)  scanf("%d",&shu[i]);
    int ls=n*m+1;
    for(int i=0;i<=ls;++i)
    {
        C[i][0]=1;  C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)  C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    for(int o=1;o<=z;++o)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=m;++j)
            {
                if(i*j<shu[o])  continue;
                if(max(i,j)>shu[o])  continue;
                g[o][i][j]=C[i*j][shu[o]]%mod;
                for(int x=1;x<=i;++x)
                    for(int y=1;y<=j;++y)
                    {
                        if(i==x&&j==y)  continue;
                        g[o][i][j]=(g[o][i][j]-(g[o][x][y]*C[i][x]*C[j][y])%mod)%mod;
                    }
            }
    for(int o=1;o<=z;++o)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=m;++j)
            {
                if(i*j<shu[o])  continue;
                for(int x=0;x<=i;++x)
                    for(int y=0;y<=j;++y)
                    {
                        if(i==x&&j==y)  continue;
                        ll ls1=(C[i][x]*C[j][y])%mod;
                        ll ls2=(g[o][i-x][j-y]*ls1)%mod;
                        f[o][i][j]=(f[o][i][j]+(f[o-1][x][y]*ls2)%mod)%mod;
                    }
            }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            ans=(ans+((f[z][i][j]*C[n][i]%mod)*C[m][j])%mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}