深入了解前缀树（超详细图文解释，含完整代码实现）

什么是前缀树?

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前缀树是N叉树的一种特殊形式。通常来说，一个前缀树是用来存储字符串的。前缀树的每一个节点代表一个字符串（前缀）。每一个节点会有多个子节点，通往不同子节点的路径上有着不同的字符。子节点代表的字符串是由节点本身的原始字符串，以及通往该子节点路径上所有的字符组成的。

下面是前缀树的一个例子：

在上图示例中，我们在节点中标记的值是该节点对应表示的字符串。例如，我们从根节点开始，选择第二条路径 ‘b’，然后选择它的第一个子节点 ‘a’，接下来继续选择子节点 ‘d’，我们最终会到达叶节点 “bad”。节点的值是由从根节点开始，与其经过的路径中的字符按顺序形成的。

值得注意的是，根节点表示空字符串。

前缀树的一个重要的特性是，节点所有的后代都与该节点相关的字符串有着共同的前缀。这就是前缀树名称的由来。

我们再来看这个例子。例如，以节点 “b” 为根的子树中的节点表示的字符串，都具有共同的前缀 “b”。反之亦然，具有公共前缀 “b” 的字符串，全部位于以 “b” 为根的子树中，并且具有不同前缀的字符串来自不同的分支。

前缀树有着广泛的应用，例如自动补全，拼写检查等等。我将在后面的章节中介绍实际应用场景。

如何表示一个前缀树？

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在前面的文章中，我们介绍了前缀树的概念。在这篇文章中，我们将讨论如何用代码表示这个数据结构。

在阅读一下内容前，请简要回顾N叉树的节点结构。

 //Definition for a Node.
class Node {
    public int val;
    public List<Node> children;

    public Node() {}

    public Node(int _val) {
        val = _val;
    }

    public Node(int _val, List<Node> _children) {
        val = _val;
        children = _children;
    }
};

前缀树的特别之处在于字符和子节点之间的对应关系。有许多不同的表示前缀树节点的方法，这里我们只介绍其中的两种方法。

方法一 - 数组

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第一种方法是用数组存储子节点。

例如，如果我们只存储含有字母 a 到 z 的字符串，我们可以在每个节点中声明一个大小为26的数组来存储其子节点。对于特定字符 c，我们可以使用 c - 'a' 作为索引来查找数组中相应的子节点。

class TrieNode {
    // change this value to adapt to different cases
    public static final int N = 26;
    public TrieNode[] children = new TrieNode[N];
    
    // you might need some extra values according to different cases
};

/** Usage:
 *  Initialization: TrieNode root = new TrieNode();
 *  Return a specific child node with char c: root.children[c - 'a']
 */

访问子节点十分快捷。访问一个特定的子节点比较容易，因为在大多数情况下，我们很容易将一个字符转换为索引。但并非所有的子节点都需要这样的操作，所以这可能会导致空间的浪费。

方法二 - Map

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第二种方法是使用 Hashmap 来存储子节点。

我们可以在每个节点中声明一个Hashmap。Hashmap的键是字符，值是相对应的子节点。

class TrieNode {
    public Map<Character, TrieNode> children = new HashMap<>();
    
    // you might need some extra values according to different cases
};

/** Usage:
 *  Initialization: TrieNode root = new TrieNode();
 *  Return a specific child node with char c: root.children.get(c)
 */

通过相应的字符来访问特定的子节点更为容易。但它可能比使用数组稍慢一些。但是，由于我们只存储我们需要的子节点，因此节省了空间。这个方法也更加灵活，因为我们不受到固定长度和固定范围的限制。

补充

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我们已经提到过如何表示前缀树中的子节点。除此之外，我们也需要用到一些其他的值。

例如，我们知道，前缀树的每个节点表示一个字符串，但并不是所有由前缀树表示的字符串都是有意义的。如果我们只想在前缀树中存储单词，那么我们可能需要在每个节点中声明一个布尔值（Boolean）作为标志，来表明该节点所表示的字符串是否为一个单词。

前缀树插入

我们已经在另一篇文章中讨论了 (如何在二叉搜索树中实现插入操作)。

提问：

你还记得如何在二叉搜索树中插入一个新的节点吗？

当我们在二叉搜索树中插入目标值时，在每个节点中，我们都需要根据 节点值 和 目标值 之间的关系，来确定目标值需要去往哪个子节点。同样地，当我们向前缀树中插入一个目标值时，我们也需要根据插入的 目标值 来决定我们的路径。

更具体地说，如果我们在前缀树中插入一个字符串 S，我们要从根节点开始。 我们将根据 S[0]（S中的第一个字符），选择一个子节点或添加一个新的子节点。然后到达第二个节点，并根据 S[1] 做出选择。 再到第三个节点，以此类推。 最后，我们依次遍历 S 中的所有字符并到达末尾。 末端节点将是表示字符串 S 的节点。

下面是一个例子：

我们来用伪代码总结一下以上策略：

1. Initialize: cur = root
2. for each char c in target string S:
3.      if cur does not have a child c:
4.          cur.children[c] = new Trie node
5.      cur = cur.children[c]
6. cur is the node which represents the string S

通常情况情况下，你需要自己构建前缀树。构建前缀树实际上就是多次调用插入函数。但请记住在插入字符串之前要 初始化根节点 。

前缀树搜索

搜索前缀

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正如我们在前缀树的简介中提到的，所有节点的后代都与该节点相对应字符串的有着共同前缀。因此，很容易搜索以特定前缀开头的任何单词。

同样地，我们可以根据给定的前缀沿着树形结构搜索下去。一旦我们找不到我们想要的子节点，搜索就以失败终止。否则，搜索成功。

我们来用伪代码总结一下以上策略：

1. Initialize: cur = root
2. for each char c in target string S:
3.      if cur does not have a child c:
4.          search fails
5.      cur = cur.children[c]
6. search successes

搜索单词

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你可能还想知道如何搜索特定的单词，而不是前缀。我们可以将这个词作为前缀，并同样按照上述同样的方法进行搜索。

1. 如果搜索失败，那么意味着没有单词以目标单词开头，那么目标单词绝对不会存在于前缀树中。
2. 如果搜索成功，我们需要检查目标单词是否是前缀树中单词的前缀，或者它本身就是一个单词。为了进一步解决这个问题，你可能需要稍对节点的结构做出修改。

提示：往每个节点中加入布尔值可能会有效地帮助你解决这个问题。

应用

Trie (发音为 “try”) 或前缀树是一种树数据结构，用于检索字符串数据集中的键。这一高效的数据结构有多种应用：

1. 自动补全

图 1. 谷歌的搜索建议

2. 拼写检查

图2. 文字处理软件中的拼写检查

3. IP 路由 (最长前缀匹配)

图 3. 使用Trie树的最长前缀匹配算法，Internet 协议（IP）路由中利用转发表选择路径。

4. T9 (九宫格) 打字预测

图 4. T9（九宫格输入），在 20 世纪 90 年代常用于手机输入

5. 单词游戏

图 5. Trie 树可通过剪枝搜索空间来高效解决 Boggle 单词游戏

还有其他的数据结构，如平衡树和哈希表，使我们能够在字符串数据集中搜索单词。为什么我们还需要 Trie 树呢？尽管哈希表可以在 O(1)时间内寻找键值，却无法高效的完成以下操作：

• 找到具有同一前缀的全部键值。
• 按词典序枚举字符串的数据集。

Trie 树优于哈希表的另一个理由是，随着哈希表大小增加，会出现大量的冲突，时间复杂度可能增加到 O(n)，其中 n 是插入的键的数量。与哈希表相比，Trie 树在存储多个具有相同前缀的键时可以使用较少的空间。此时 Trie 树只需要 O(m) 的时间复杂度，其中 mm 为键长。而在平衡树中查找键值需要 O*(mlog*n) 时间复杂度。

完整实现

Trie 树的结点结构

Trie 树是一个有根的树，其结点具有以下字段：。

• 最多 R 个指向子结点的链接，其中每个链接对应字母表数据集中的一个字母。
  本文中假定 R 为 26，小写拉丁字母的数量。
• 布尔字段，以指定节点是对应键的结尾还是只是键前缀。

图 6. 单词 “leet” 在 Trie 树中的表示

class TrieNode {

    // R links to node children
    private TrieNode[] links;

    private final int R = 26;

    private boolean isEnd;

    public TrieNode() {
        links = new TrieNode[R];
    }

    public boolean containsKey(char ch) {
        return links[ch -'a'] != null;
    }
    public TrieNode get(char ch) {
        return links[ch -'a'];
    }
    public void put(char ch, TrieNode node) {
        links[ch -'a'] = node;
    }
    public void setEnd() {
        isEnd = true;
    }
    public boolean isEnd() {
        return isEnd;
    }
}

向 Trie 树中插入键

我们通过搜索 Trie 树来插入一个键。我们从根开始搜索它对应于第一个键字符的链接。有两种情况：

• 链接存在。沿着链接移动到树的下一个子层。算法继续搜索下一个键字符。
• 链接不存在。创建一个新的节点，并将它与父节点的链接相连，该链接与当前的键字符相匹配。

重复以上步骤，直到到达键的最后一个字符，然后将当前节点标记为结束节点，算法完成。

图 7. 向 Trie 树中插入键

class Trie {
    private TrieNode root;

    public Trie() {
        root = new TrieNode();
    }

    // Inserts a word into the trie.
    public void insert(String word) {
        TrieNode node = root;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
            char currentChar = word.charAt(i);
            if (!node.containsKey(currentChar)) {
                node.put(currentChar, new TrieNode());
            }
            node = node.get(currentChar);
        }
        node.setEnd();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m)，其中 mm 为键长。在算法的每次迭代中，我们要么检查要么创建一个节点，直到到达键尾。只需要 mm 次操作。
• 空间复杂度：O(m)。最坏的情况下，新插入的键和 Trie 树中已有的键没有公共前缀。此时需要添加 m个结点，使用 O(m)空间。

在 Trie 树中查找键

每个键在 trie 中表示为从根到内部节点或叶的路径。我们用第一个键字符从根开始，。检查当前节点中与键字符对应的链接。有两种情况：

• 存在链接。我们移动到该链接后面路径中的下一个节点，并继续搜索下一个键字符。

• 不存在链接。若已无键字符，且当前结点标记为isEnd

  ，则返回 true。否则有两种可能，均返回 false :

  • 还有键字符剩余，但无法跟随 Trie 树的键路径，找不到键。
  • 没有键字符剩余，但当前结点没有标记为 isEnd。也就是说，待查找键只是Trie树中另一个键的前缀。

图 8. 在 Trie 树中查找键

class Trie {
    ...

    // search a prefix or whole key in trie and
    // returns the node where search ends
    private TrieNode searchPrefix(String word) {
        TrieNode node = root;
        for (int i = 0; i < word.length(); i++) {
           char curLetter = word.charAt(i);
           if (node.containsKey(curLetter)) {
               node = node.get(curLetter);
           } else {
               return null;
           }
        }
        return node;
    }

    // Returns if the word is in the trie.
    public boolean search(String word) {
       TrieNode node = searchPrefix(word);
       return node != null && node.isEnd();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度 : O(m)。算法的每一步均搜索下一个键字符。最坏的情况下需要 m 次操作。
• 空间复杂度 : O(1)。

查找 Trie 树中的键前缀

该方法与在 Trie 树中搜索键时使用的方法非常相似。我们从根遍历 Trie 树，直到键前缀中没有字符，或者无法用当前的键字符继续 Trie 中的路径。与上面提到的“搜索键”算法唯一的区别是，到达键前缀的末尾时，总是返回 true。我们不需要考虑当前 Trie 节点是否用 “isend” 标记，因为我们搜索的是键的前缀，而不是整个键。

图 9. 查找 Trie 树中的键前缀

class Trie {
    ...

    // Returns if there is any word in the trie
    // that starts with the given prefix.
    public boolean startsWith(String prefix) {
        TrieNode node = searchPrefix(prefix);
        return node != null;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度 : O(m)。
• 空间复杂度 : O(1)。

完整代码

class Trie {
    private final int ALPHABET_SIZE = 26;
    private Trie[] children = new Trie[ALPHABET_SIZE];
    boolean isEndOfWord = false;
    public Trie() {}
    
    public void insert(String word) {
        Trie tmp = this;
        for (char i : word.toCharArray()) {
            if (tmp.children[i-'a'] == null) {
                tmp.children[i-'a'] = new Trie();
            }
            tmp = tmp.children[i-'a'];
        }
        tmp.isEndOfWord = true;
    }
    
    public boolean search(String word) {
        Trie tmp = this;
        for (char i : word.toCharArray()) {
            if (tmp.children[i-'a'] == null) {
                return false;
            }
            tmp = tmp.children[i-'a'];
        }
        return tmp.isEndOfWord ? true : false;
    }
    
    public boolean startsWith(String prefix) {
        Trie tmp = this;
        for (char i : prefix.toCharArray()) {
            if (tmp.children[i-'a'] == null) {
                return false;
            }
            tmp = tmp.children[i-'a'];
        }
        return true;
    }
}