杨氏矩阵的查找问题

2018-03-17 14:58:38

问题描述：已知一个2维矩阵，其中的元素每一行从左至右依次增加，每一列从上到下依次增加。即对于矩阵Table有Table[i][j] ≤Table[i][j + 1], Table[i][j] ≤ Table[i + 1][j]，我们也称这样的矩阵为杨氏矩阵。给出判定某个数是否存在该矩阵中的高效算法。

 

问题求解：这个题目个人感觉非常有意思，第一眼看过去会有一种二分查找的二维推广的感觉，似乎可以用二分查找的方法来解决。这里不妨假设矩阵的规模为n * n。

如果采用每行的二分查找算法的话，那么算法的时间复杂度无疑是O(nlogn)，还是比较大的。那如何采用一种方法更有效的利用好这里的已排序的信息呢？

事实上，可以采用Step-wise进行线性搜索，也就是使用步进的方式进行查找，最终可以在O(n)的时间复杂度内完成查找。

思路理解起来也并不困难，就是从矩阵的右上角开始查找，不妨设其为m，如果待查找的值x小于m，则删去一列，如果待查找的值x大于m，则删去一行。

如下图显示了查找13的轨迹。首先与右上角15比较，13<15，所以去掉最右1列，然后与11比较，这是13>11，去掉最上面1行…以此类推，最后找到13。算法复杂度O(n)，最坏情况需要2n步，即从右上角开始查找，而要查找的目标值在左下角的时候。

    boolean stepwise(int[][] m, int target) {
        int row = m.length;
        int col = m[0].length;
        int x = 0;
        int y = col - 1;
        while (x < row && y >= 0) {
            if (target > m[x][y])
                x++;
            else if (target < m[x][y])
                y--;
            else return true;
        }
        return false;
    }