2022-05-28 22:13:32
问题描述：
作为国王的统治者，你有一支巫师军队听你指挥。
给你一个下标从 0 开始的整数数组 strength ，其中 strength[i] 表示第 i 位巫师的力量值。对于连续的一组巫师（也就是这些巫师的力量值是 strength 的 子数组），总力量 定义为以下两个值的 乘积 ：
巫师中 最弱 的能力值。
组中所有巫师的个人力量值 之和 。
请你返回 所有 巫师组的 总 力量之和。由于答案可能很大，请将答案对 109 + 7 取余 后返回。
子数组 是一个数组里 非空 连续子序列。
示例 1：
输入：strength = [1,3,1,2]
输出：44
解释：以下是所有连续巫师组：
- [1,3,1,2] 中 [1] ，总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
- [1,3,1,2] 中 [3] ，总力量值为 min([3]) * sum([3]) = 3 * 3 = 9
- [1,3,1,2] 中 [1] ，总力量值为 min([1]) * sum([1]) = 1 * 1 = 1
- [1,3,1,2] 中 [2] ，总力量值为 min([2]) * sum([2]) = 2 * 2 = 4
- [1,3,1,2] 中 [1,3] ，总力量值为 min([1,3]) * sum([1,3]) = 1 * 4 = 4
- [1,3,1,2] 中 [3,1] ，总力量值为 min([3,1]) * sum([3,1]) = 1 * 4 = 4
- [1,3,1,2] 中 [1,2] ，总力量值为 min([1,2]) * sum([1,2]) = 1 * 3 = 3
- [1,3,1,2] 中 [1,3,1] ，总力量值为 min([1,3,1]) * sum([1,3,1]) = 1 * 5 = 5
- [1,3,1,2] 中 [3,1,2] ，总力量值为 min([3,1,2]) * sum([3,1,2]) = 1 * 6 = 6
- [1,3,1,2] 中 [1,3,1,2] ，总力量值为 min([1,3,1,2]) * sum([1,3,1,2]) = 1 * 7 = 7
所有力量值之和为 1 + 9 + 1 + 4 + 4 + 4 + 3 + 5 + 6 + 7 = 44 。
示例 2：
输入：strength = [5,4,6]
输出：213
解释：以下是所有连续巫师组：
- [5,4,6] 中 [5] ，总力量值为 min([5]) * sum([5]) = 5 * 5 = 25
- [5,4,6] 中 [4] ，总力量值为 min([4]) * sum([4]) = 4 * 4 = 16
- [5,4,6] 中 [6] ，总力量值为 min([6]) * sum([6]) = 6 * 6 = 36
- [5,4,6] 中 [5,4] ，总力量值为 min([5,4]) * sum([5,4]) = 4 * 9 = 36
- [5,4,6] 中 [4,6] ，总力量值为 min([4,6]) * sum([4,6]) = 4 * 10 = 40
- [5,4,6] 中 [5,4,6] ，总力量值为 min([5,4,6]) * sum([5,4,6]) = 4 * 15 = 60
所有力量值之和为 25 + 16 + 36 + 36 + 40 + 60 = 213 。
提示：
1 <= strength.length <= 105
1 <= strength[i] <= 109
问题求解：
首先我们需要去求得每个位置作为最小值的辐射范围，这一步可以通过单调栈获得，注意一边开一边闭来保证唯一性。
本题最大的难点在于如何高效的求和。
a x x x i x x x x b
1 2 3 4 3 2 1
我们发现在计算的时候有阶梯的性质，因此可以考虑通过两个前缀和来计算对应的和。
具体来说:
对于左侧：sub1 = nums[a + 1] * 1 + nums[a + 2] * 2 ... + nums[i - 1] * (i - 1) = nums[a + 1] * ( a + 1) + nums[a + 2] * (a + 2) + ... + (nums[i - 1] * (i - 1) - a * (nums[a + 1] + nums[a + 2] ...)
对于右侧：sub2 = nums[i + 1] * (b - i - 1) + ... = b * (nums[i + 1] + nums[i + 2] + ...) - (nums[i + 1] * (i + 1) + ...)
因此我们可以通过建立两个presum来完成快速的求和运算。
class Solution:
def totalStrength(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
nums.insert(0, 0)
presum1 = [0] * (n + 1)
presum2 = [0] * (n + 1)
for i in range(1, n + 1):
presum1[i] = nums[i] + presum1[i - 1]
presum2[i] = nums[i] * i + presum2[i - 1]
# 左侧第一个更小的数字
left = [0] * (n + 1)
# 右侧第一个更小/等于的数字
right = [n + 1] * (n + 1)
stack = []
for i in range(n, 0, -1):
while stack and nums[stack[-1]] > nums[i]:
stack.pop()
right[i] = stack[-1] if stack else n + 1
stack.append(i)
stack = []
for i in range(1, n + 1):
while stack and nums[stack[-1]] >= nums[i]:
stack.pop()
left[i] = stack[-1] if stack else 0
stack.append(i)
res = 0
mod = int(1e9 + 7)
for i in range(1, n + 1):
a = left[i]
b = right[i]
x = i - a
y = b - i
sub1 = (presum2[i - 1] - presum2[a] - a * (presum1[i - 1] - presum1[a]) % mod + mod) % mod
sub1 = sub1 * y % mod
sub2 = (b * (presum1[b - 1] - presum1[i]) % mod - (presum2[b - 1] - presum2[i]) + mod) % mod
sub2 = sub2 * x % mod
res = (res + (sub1 + sub2 + nums[i] * x * y % mod) * nums[i] % mod) % mod
return res