- 一个性质：\(C\) 一定是 \(S\) 集合中 \(w\) 值最大的若干个点（记作集合 \(A\)）和根形成的连通块。
- 考虑反证：若 \(\exists x,x\in S\backslash A\)，那 \(x\) 必为 \(A\) 中某个点（设为 \(y\)）的祖先，所以 \(w_x>w_y\)，不满足 \(A\) 的定义。
- 令 \(B=S-A\)，我们强制钦定 \(|A|\geq\max_{x\in B} w_x\)。每一次询问要求的答案就是当前的 \(|A|\)。
- 根据定义，显然有：\(\max_{x\in B} w_x\leq \min_{x\in A} w_x\)。记 \(ans=|A|\)。
\(O(n \log^2 n)\) 做法
- 对原树进行轻重链剖分。
- 线段树维护每个节点子树内的 \(\max_{x\in B} w_x\)和 \(\min_{x\in A} w_x\)（分别记为 \(mx[now],mn[now]\)），询问时调整。
- 初始时，\(mx[now]=-INF,mn[now]=INF\)，代表子树中没有在 \(S\) 中的点。
- 加入一个数 \(x\) 时，先将它加入到 \(B\) 中。那么相当于在将 \(x\) 的 \(mx+=INF\)。若原来的值为 \(-INF+k\)，那么现在的值为 \(k\)（\(k\) 即为 \(x\) 子树在 \(S\) 中的点的个数）。然后将 \(x\) 到根路径上的所有 \(w++\)。
- 删除一个数 \(x\) 时，若当前位置 \(mx<0\)，说明并不在 \(A\) 中，就从 \(B\) 中删除，\(mx-=INF\)。否则从 \(A\) 中删除，\(mn+=INF\)，同时 \(ans--\)。（\(A\) 的大小减少了 \(1\)）。然后将 \(x\) 到根路径上的所有 \(w--\)。
- 若 \(\max_{x\in B} w_x> \min_{x\in A} w_x\)，再将 \(B\) 中的最大值移入 \(A\) 中，使得其满足 \(A\) 的定义。
- 若 \(|A|<\max_{x\in B} w_x\)，再将 \(B\) 中的最大值移入 \(A\) 中。（已强制钦定 \(|A|\geq\max_{x\in B} w_x\)）
- 若 \(|A|>min_{x\in A} w_x\)，当前答案必大于 \(min_{x\in A} w_x\)，那么将 \(A\) 中的最小值移到 \(B\) 中，答案必定不会变劣。
- 最后得到的 \(|A|\) 就是答案。
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Problem:「WC2020」有根树
Author:hydd
Date:2020/8/13
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#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin);freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
char Getchar(){
static char now[1<<20],*A,*B;
if (B==A){
B=(A=now)+fread(now,1,1<<20,stdin);
if (B==A) return EOF;
}
return *A++;
}
int read(){
int x=0,f=1;
char ch=Getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=Getchar();
}
while (ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=Getchar();
return x*f;
}
int n,q,ans,fa[510000],sz[510000];
int dtime,son[510000],top[510000],dfn[510000];
int edgenum,vet[1100000],val[1100000],Next[1100000],Head[510000];
void addedge(int u,int v){
vet[++edgenum]=v;
Next[edgenum]=Head[u];
Head[u]=edgenum;
}
void dfs(int u,int f){
fa[u]=f; sz[u]=1; son[u]=0;
for (int e=Head[u],v;e;e=Next[e]){ v=vet[e];
if (v==f) continue;
dfs(v,u); sz[u]+=sz[v];
if (sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int tp){
top[u]=tp; dfn[u]=++dtime;
if (son[u]) dfs2(son[u],tp);
for (int e=Head[u],v;e;e=Next[e]){ v=vet[e];
if (v==fa[u]||v==son[u]) continue;
dfs2(v,v);
}
}
//namespace Segment Tree
int mn[2100000],mx[2100000],tag[2100000];
inline void pushup(int now){
mn[now]=min(mn[now<<1],mn[now<<1|1]);
mx[now]=max(mx[now<<1],mx[now<<1|1]);
}
inline void add(int now,int v){
mn[now]+=v; mx[now]+=v;
tag[now]+=v;
}
inline void pushdown(int now){
if (tag[now]){
add(now<<1,tag[now]);
add(now<<1|1,tag[now]);
tag[now]=0;
}
}
void change(int now,int l,int r,int x,int v){
if (l==r){
if (v>0) mx[now]+=INF;//B中加入
else if (mx[now]<0) mn[now]+=INF,ans--;//A中删除
else mx[now]-=INF;//B中删除
return;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) change(now<<1,l,mid,x,v);
else change(now<<1|1,mid+1,r,x,v);
pushup(now);
}
void change(int now,int l,int r,int x,int y,int v){
if (l==x&&r==y){
add(now,v);
return;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
if (y<=mid) change(now<<1,l,mid,x,y,v);
else if (x>mid) change(now<<1|1,mid+1,r,x,y,v);
else { change(now<<1,l,mid,x,mid,v); change(now<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,v);}
pushup(now);
}
void BtoA(int now,int l,int r){
if (l==r){
ans++;
mx[now]-=INF; mn[now]-=INF;
return;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
if (mx[now]==mx[now<<1]) BtoA(now<<1,l,mid);
else BtoA(now<<1|1,mid+1,r);
pushup(now);
}
void AtoB(int now,int l,int r){
if (l==r){
ans--;
mx[now]+=INF; mn[now]+=INF;
return;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
if (mn[now]==mn[now<<1]) AtoB(now<<1,l,mid);
else AtoB(now<<1|1,mid+1,r);
pushup(now);
}
int main(){
// File("tree");
n=read(); int op,u,v;
for (int i=1;i<n;i++){
u=read(); v=read();
addedge(u,v); addedge(v,u);
}
dfs(1,0); dfs2(1,1);
q=read();
/*
答案必定是S中w最大的若干个点
我们选择的S中w最大的若干个点的子集为A，B=S-A
满足B中最大值<=A中最小值
*/
for (int i=1;i<=4*n+1;i++) mn[i]=INF,mx[i]=-INF;
while (q--){
op=read(); v=read(); if (op==2) op=-1;
change(1,1,n,dfn[v],op);
for (;v;v=fa[top[v]]) change(1,1,n,dfn[top[v]],dfn[v],op);
/*if (op==1){
while (mn[1]<mx[1]) BtoA(1,1,n);//A中最小值<B中最大值
} else{*/
while (mn[1]<mx[1]) BtoA(1,1,n);//A中最小值<B中最大值
//}
while (ans<mx[1]) BtoA(1,1,n);//钦定|A|>=mx[1]
while (ans>mn[1]) AtoB(1,1,n);//答案已经比mn[1]大了，把它移到B答案不会变劣
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
\(O(n\log n)\) 做法
- 对原树进行轻重链剖分后，维护每条重链上：
- 重链上的点的个数（记作 \(tot\)）。
- 最靠下的在 \(A\) 中的点与链顶深度之差 \(+1\)。记作 \(up\)），如果没有，设为 \(0\)。\(up\) 的 \(w\) 值（记作 \(up\_w\)）。
- 最靠上的在 \(B\) 中的点与链顶深度之差 \(+1\)（记作 \(dw\)），如果没有，设为 \(tot+1\)。\(dw\) 的 \(w\) 值（记作 \(dw\_w\)）。
- 维护一个 \(cnt=|A|\)，再维护 \(lim\)，要求 \(\min_{x\in A} x>lim,\max_{x\in B}\leq lim\)。
在 \(S\) 中插入点 \(x\)
- 找到 \(x\) 所在的重链，先更新链上的 \(up\_w/dw\_w\) 都 \(+1\)。
- 如果现在的 \(dw\_w>lim\)，就可以把它移动到 \(A\) 中（而必定只有一个点会移到 \(A\) 中，因为链上从上到下的 \(w\) 值必定是严格递减的）。（此条件有可能满足只有可能最靠上的在 \(B\) 中的点在 \(x\) 上方）
- 否则，如果当前最靠上的在 \(B\) 中的点在 \(x\) 下方，那么：
- 如果 \(w_x\leqslant lim\)，那么显然有 \(t-fa[x]\) 链上所有点都在 \(A\) 中，\(son[x]-\cdots\) 链上所有点都在 \(B\) 中，且当前点可以加入 \(B\)，就可以考虑更新 \(up\)。
- 如果 \(w_x>lim\)，那么显然有 \(t-fa[x]\) 链上所有点都在 \(A\) 中，\(son[x]-\cdots\) 链上所有点都在 \(B\) 中。且当前点可以加入 \(A\)，就可以考虑更新 \(dw\)。
- 接下来，就是更新到根路径上的其他重链的 \(up\_w/dw\_w\)，然后看要不要上移分界点即可。
- 最后，当 \(cnt>lim\)，不断将 \(A\) 中值为 \(lim\) 的点移到 \(B\) 中即可。
在 \(S\) 中删除点 \(x\)
- 找到 \(x\) 所在的重链，先更新链上的 \(up\_w/dw\_w\) 都 \(-1\)。设 \(d\) 为当前点的深度与链顶深度之差 \(+1\)。
- 如果现在的 \(d\leqslant up[t]\)，说明它现在在 \(A\) 中，删了之后要将 \(cnt--\)。同时如果 \(d=up[t]\)，说明它是 \(A\) 中深度最大的点，删去之后要重新求深度最大的点。
- 如果现在的 \(d=dw[t]\)，说明它为 \(B\) 中深度最小的点，删去之后要重新求深度最小的点。（在 \(B\) 中但非深度最小的点删去没有影响）。
- 然后，若 \(up_w[t]\leq lim\) 且 \(up[t]\neq 0\) （这个点存在），那么就可以把它移动到 \(B\) 中，\(cnt--\)。
- 接下来，就是更新到根路径上的其他重链的 \(up\_w/dw\_w\)，然后看要不要下移分界点即可。
- 最后，当 \(cnt<lim\)，不断将 \(B\) 值为 \(lim\) 的点移到 \(A\) 中即可。
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Problem:「WC2020」有根树
Author:hydd
Date:2020/8/13-2020/8/14
*********************************************************************/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<set>
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin);//freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=510000;
const int MAXM=1100000;
int n,q;
namespace IO{
const int LEN=1<<20;
char Getchar(){
static char now[LEN],*A,*B;
if (B==A){
B=(A=now)+fread(now,1,LEN,stdin);
if (B==A) return EOF;
}
return *A++;
}
int read(){
int x=0,f=1;
char ch=Getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=Getchar();
}
while (ch<='9'&&ch>='0') x=x*10+ch-'0',ch=Getchar();
return x*f;
}
char pbuf[LEN],*pp=pbuf;
void pc(const char c) {
if (pp-pbuf==LEN) fwrite(pbuf,1,LEN,stdout),pp=pbuf;
*pp++=c;
}
void write(int x){
static int sta[35];
if (x<0){ pc('-'); x=-x;}
int top=0;
do{
sta[top++]=x%10;
x/=10;
} while (x);
while (top) pc(sta[--top]+'0');
}
void IOflush(){ fwrite(pbuf,1,pp-pbuf,stdout);}
} using namespace IO;
namespace Graph{
int edgenum,vet[MAXM],val[MAXM],Next[MAXM],Head[MAXN];
void addedge(int u,int v){
vet[++edgenum]=v;
Next[edgenum]=Head[u];
Head[u]=edgenum;
}
} using namespace Graph;
namespace HLD{//Heavy-Light Decompositions
int fa[MAXN],sz[MAXN],son[MAXN];
int dtime,L[MAXN],R[MAXN],num[MAXN];
int tot[MAXN],top[MAXN];
void dfs(int u,int f){
fa[u]=f; sz[u]=1; son[u]=0;
for (int e=Head[u],v;e;e=Next[e]){ v=vet[e];
if (v==f) continue;
dfs(v,u); sz[u]+=sz[v];
if (sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int tp){
top[u]=tp; tot[tp]++; num[++dtime]=u;
L[u]=dtime;
if (son[u]) dfs2(son[u],tp);
for (int e=Head[u],v;e;e=Next[e]){ v=vet[e];
if (v==fa[u]||v==son[u]) continue;
dfs2(v,v);
}
R[u]=dtime;
}
} using namespace HLD;
namespace BIT{//Binary Index Tree
int tree[MAXN];
void add(int x,int y){
for (;x<=n;x+=x&-x) tree[x]+=y;
}
int query(int x){
int res=0;
for (;x;x-=x&-x) res+=tree[x];
return res;
}
} using namespace BIT;
struct List{//表头为权值，后面接着点的编号
int pre[MAXM],nxt[MAXM];
void del(int x){
if (nxt[x]) pre[nxt[x]]=pre[x];
if (pre[x]) nxt[pre[x]]=nxt[x];
pre[x]=x; nxt[x]=x;
}
void ins(int v,int x){//在权值v后插入点x
v+=n+1;
nxt[x]=nxt[v];
if (nxt[v]) pre[nxt[v]]=x;
nxt[v]=x; pre[x]=v;
}
int get(int v){ return nxt[v+n+1];}
} Up,Dw;
int up[MAXN],dw[MAXN],up_w[MAXN],dw_w[MAXN];
void update(int x){//更新每条链的分界点的值，存入Up,Dw
Up.del(x);
if (up[x]>=1) Up.ins(up_w[x],x);
Dw.del(x);
if (dw[x]<=tot[x]) Dw.ins(dw_w[x],x);
}
/*
up[x]为链上最深度最大的A中的点的深度，up_w[x]为其w值
dw[x]为链上最深度最小的B中的点的深度，dw_w[x]为其w值
>lim的点放入A中，<=lim的点放入B中
*/
void update_w(int x,int d,int w){//更新分界点的w值
if (1<=up[x]&&up[x]<=d) up_w[x]+=w;
if (dw[x]<=d) dw_w[x]+=w;
}
int get_w(int x){ return query(R[x])-query(L[x]-1);}//获得一个在S中的点的w值
set<int> s[MAXN];
set<int>::iterator it;
int pred(int x,int y){
it=s[x].lower_bound(y);
if (it==s[x].begin()) return 0;
else return *--it;
}
int succ(int x,int y){
it=s[x].upper_bound(y);
if (it==s[x].end()) return 0;
else return *it;
}
void delA(int x){//将链上的深度最大的A从A中删除
up[x]=pred(x,up[x]);
up_w[x]=!up[x]?0:get_w(num[L[x]+up[x]-1]);
}
void delB(int x){//将链上的深度最大的B从B中删除
dw[x]=succ(x,dw[x]);
dw_w[x]=dw[x]>tot[x]?0:get_w(num[L[x]+dw[x]-1]);
}
void AtoB(int x){//将链上的深度最大的A移到B中
dw[x]=up[x]; dw_w[x]=up_w[x];
delA(x);
}
void BtoA(int x){//将链上的深度最小的B移到A中
up[x]=dw[x]; up_w[x]=dw_w[x];
delB(x);
}
int cnt,lim;
void ins(int x){
add(L[x],1);
int t=top[x],d=L[x]-L[t]+1;//d为以t为根时x的深度（t深度为1）
s[t].insert(d);
update_w(t,d,1);//更新链上分界点的w（分界点在t--x的链上）
if (dw_w[t]>lim){ cnt++; BtoA(t);}//直接上移，因为最多分界点只会移动一步
else
if (dw[t]>d){//现在已知dw[t]满足条件且在x之下，看分界点是否能移动
int s=get_w(x);
if (s<=lim){ dw[t]=d; dw_w[t]=s;}//原先t--fa[x]链上所有点都在A中，son[x]--*所有点都在B中，且当前点可以加入B
else {
cnt++;
if (d>up[t]){ up[t]=d; up_w[t]=s;}//原先t--fa[x]链上所有点都在A中，son[x]--*所有点都在B中，且当前点可以加入A
}
}
update(t);
for (int x=fa[t],t=top[x];x;x=fa[t],t=top[x]){
d=L[x]-L[t]+1;
update_w(t,d,1);//更新链上分界点的w
if (dw_w[t]>lim){ cnt++; BtoA(t);}//分界点上移
update(t);
}
//前面的操作会导致cnt增大
while (cnt>lim){
int x=Up.get(lim);
if (!x){ lim++; continue;}//没有权值为lim的A中的点
cnt--; AtoB(x); update(x);
}
//做完后cnt==lim
}
void del(int x){
add(L[x],-1);
int t=top[x],d=L[x]-L[t]+1;//d为以t为根时x的深度（t深度为1）
s[t].erase(d);
update_w(t,d,-1);//更新链上分界点的w（分界点在t--x的链上）
if (d<=up[t]) cnt--;//从A中删除，因为x已经不在S中了
if (d==up[t]) delA(t);//若x为A中深度最大的点，删去后要重新求深度最大的点
else if (d==dw[t]) delB(t);//若x为B中深度最大的点，删去后要重新求深度最大的点
if (up[t]>=1&&up_w[t]<=lim){ cnt--; AtoB(t);}//x到根路径所有w--，可能导致分界点下移
update(t);
for (int x=fa[t],t=top[x];x;x=fa[t],t=top[x]){
d=L[x]-L[t]+1;
update_w(t,d,-1);//更新链上分界点的w
if (up[t]>=1&&up_w[t]<=lim){ cnt--; AtoB(t);}//分界点下移
update(t);
}
//前面的操作会导致cnt减小
while (cnt<lim){
int x=Dw.get(lim);
if (!x){ lim--; continue;}//没有权值为lim的A中的点
cnt++; BtoA(x); update(x);
}
}
int main(){
// File("tree");
n=read();
for (int i=1;i<=(n<<1|1);i++){
Up.pre[i]=0; Up.nxt[i]=0;
Dw.pre[i]=0; Dw.nxt[i]=0;
}
int t,u,v;
for (int i=1;i<n;i++){
u=read(); v=read();
addedge(u,v); addedge(v,u);
}
dfs(1,0); dfs2(1,1);
for (int i=1;i<=n;i++)
if (top[i]==i){
dw[i]=tot[i]+1;//B中深度最小的点是i往下dw[i]深度的点
s[i].insert(0); s[i].insert(tot[i]+1);
}
q=read();
while (q--){
t=read(); v=read();
if (t==1) ins(v);
else del(v);
write(cnt); pc('\n');
}
IOflush();
return 0;
}
/*
5
1 2
1 3
1 4
2 5
6
1 4
1 1
1 2
1 5
2 2
1 3
*/