库恩塔克条件

亦称“K-T条件”，库恩塔克条件(Kuhn-Tucker conditions)是非线性规划领域里最重要的理论成果之一，是确定某点为极值点的必要条件。如果所讨论的规划是凸规划，那么库恩-塔克条件也是充分条件。

库恩-塔克尔条件(Kuhn-Tucker condition)是判定约束非线性规划问题的某可行点为极小点的必要条件。对于凸规划来说，则是判别极小点的充分必要条件。对于约束非线性规划问题(NP)(参见“非线性规划”)，设其中

和

在R的某一开集上一阶连续可微，

是问题的极小点，且是约束条件的正则点，则存在向量

及μ=(μ1，μ2，…，μq)，使得

此即为所考虑约束非线性规划问题(NP)的库恩-塔克尔条件，也称一阶必要条件，

称为库恩-塔克尔乘子。由上述库恩-塔克尔条件可知，只有当

在

点为起作用约束时，可以有

否则，

。1951年，库恩(H.W.Kuhn)和塔克尔(A.W.Tucker)证明了这一条件，为非线性规划奠定了重要理论基础 [1]  。

   

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令

及

考虑如下最优化问题:

点集

叫做可行集。如果在某一特定的

，有

，则称第

个约束是起作用的约束； 否则就称第

个约束不起作用，或是一松弛的约束。

令

为在

处起作用的约束的梯度集：

={

对于所有的

满足

}。

如果向量集

是线性无关的，那么称约束包成立 [2]  。

库恩一塔克定理

如果

是(1)的解且约束包在

成立。那么存在一组库恩一塔克乘子

使得

。进一步地，有互补松弛条件：

对于所有的

；

当

。

比较库恩-塔克定理与拉格朗日定理，可以发现主要区别在于库恩-塔克乘子的符号是非负的，而拉格朗日乘子可以是任意一个数，这一增加的信息优势可以是很有用的。当然，库恩-塔克定理仅是极大值条件的一个必要条件,然而，在一个重要的情形里，它是必要且充分的。

库恩一塔克充分条件

假设

是一凹函数，

是一凸函数，

，令

为一可行点，并假设我们能够找到非负数值

，使得

。那么

是极大化问题(1)的解 [2]  。