B树的结构有：B-Tree, B-Tree, B*Tree
BTree(二叉排序树)B-Tree：B树也是二叉排序树的变异版本，是N叉的排序树。
M阶BTree的几个重要特性
1.结点最多含m棵子树（指针），m-1个关键字（存的数据，空间）（m >= 2）
2.除根节点和叶子结点外，其它每个结点至少有ceil(m / 2)个子节点，ceil向上取整
3.若根节点不是叶子节点，则至少有两棵子树。
二叉排序树BST，也称二叉查找树
在二叉查找树中，因为中序遍历的顺序是 左子树， 根， 右子树，而在二叉排序树中，左子树结点值 < 根节点值 < 右子树结点值，所以，二叉排序树的中序遍历序列是递增的结果。
二叉排序树的中序遍历序列一定是一个递增的有序序列。
对于这棵树，中序遍历序列是：1， 2， 3， 4， 5， 7， 8， 10， 16
对于二叉排序树而言，我们最常用的操作并不是排序，而是查找。
查找操作
1.判断二叉树是否为空
2.二叉树若不为空，则查找根节点，若相等则查找成功
3.若根节点不相等，则当小于根节点则查找左子树；当大于根结点值时则查找右子树。
4.当查找到叶节点仍没查找到相对应的值（判断指针是否为空），则查找失败。
该算法的时间复杂度为O(h)
1 BSTNode* BST_Search(BiTree T, ElemType key, BSTNode* &p) 2 { 3 p = NULL; 4 while(T != NULL && key != T.data) 5 { 6 if(key < T.data) 7 T = T -> lchild; 8 if(key > T.data) 9 T = T -> rchild; 10 } 11 return T; 12 13 }
插入
若二叉排序树为空，则直接插入结点
若二叉排序树非空，当值小于根节点时插入左子树；当值大于根节点时，插入右子树，当值等于根节点时不进行插入。
注意，在树的实现中，我们是通过二叉链表或者三叉链表来实现的，所以我们在插入操作或者删除操作时修改指针指向即可。
1 //返回的是整型变量，若插入成功则返回值1，插入失败则返回值0 2 int BST_Insert(BiTree &T, KeyType k){ 3 if(T == NULL) 4 { 5 T = (BiTree)malloc(sizeof(BSTNode)); 6 T->data = k; 7 T -> lchild = NULL; 8 T -> rchild = NULL; 9 return1; 10 } 11 12 else if(key == T->data) 13 return 0; 14 15 else if(key > T -> data) 16 return BST_Insert(T->rchild, k); 17 18 else 19 return BST_Insert(T->lchild, k) 20 21 }
构造二叉排序树
构造二叉排序树是一个动态的问题。就是不断调用插入函数进行构造二叉排序树。
读入一个元素并建立结点，若二叉树为空，则将其作为根节点；
若二叉树非空，当值小于根结点时，插入左子树；当值大于根节点时，插入右子树；当值等于根节点时不进行插入。
1 void Create_BST(BiTree &T, KeyType str[], int n){ 2 T = NULL; 3 int i = 0; 4 while(i < n) 5 { 6 BST_Insert(T, str[i]); 7 i++; 8 } 9 }
但是这样的构造法生成的二叉顺序树与元素的顺序有关
删除操作
二叉排序树的删除操作是比较复杂的，分为以下三种情况
1.所被删除的结点是叶节点，则直接删除
2.若被删除的结点只有一棵子树，则让该结点的子树称为该节点父结点的子树，从而代替该节点
3.若被删除的结点右两棵子树，则让该节点的中序序列直接后继代替该节点，并删除直接后继结点。
这里只做第三种情况的分析。
第三种情况中，被删除的中序直接后继节点是比该结点值大，但是又是比被删除结点的右子树中其他结点值小的一个结点，所以将被删除结点的中序直接后继结点代替该结点时最合适的操作。
在删除二叉排序树中删除并插入某结点，得到的二叉排序树是否与原来相同。
答案是可能相同，也可能不同，要视情况具体分析。
仍以上图中图1所示的二叉排序树为例，若删除的是结点7，那么得到的二叉排序树是相同的。
但是若删除的是结点5，那么再重新将该节点插入该二叉树时，结点5就会成为结点7的左孩子结点。
二叉排序树的查找效率
平均查找长度（ASL）取决于树的高度。
如果二叉排序树是平衡二叉树的话，查找效率是O(log2n), 最坏情况下是O(n)，此时二叉排序树类似于单链表。
平衡二叉树
平衡二叉树AVL：任意结点的平衡因子的绝对值不超过1。
平衡因子：左子树高度与右子树高度之差
高度为h的最小平衡二叉树的结点数Nh的计算
Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1
N0 = 0
N1 = 1
平衡二叉树的后序遍历过程
利用递归的后序遍历过程：
1.判断左子树是一棵平衡二叉树
2.判断右子树是一棵平衡二叉树
3.判断以该节点为根的二叉树为平衡二叉树
判断条件：若左子树和右子树均为平衡二叉树，且左子树与右子树高度差的绝对值小于等于1，则平衡。
需要保留两个变量：表示平衡性的变量B，为布尔类型，平衡为1，不平衡为0；表示高度的变量，为整型。
1 void Judge_AVL(BiTree bt, int &balance, int &h) 2 { 3 //左子树的平衡性、右子树的平衡性， 左子树的高度，右子树的高度 4 int bl = 0; br = 0, hl = 0; hr = 0; 5 if(bt == NULL) 6 { 7 h = 0; 8 balance = 1; 9 } 10 11 else if(bt -> lchild == NULL && bt -> rchild == NULL) 12 { 13 h = 1; 14 balance = 1; 15 } 16 17 else 18 { 19 Judge_AVL(bt->lchild, bl, hl); 20 Judge_AVL(bt -> rchild, br, hr); 21 if(hl > hr) 22 h = hr + 1; 23 else 24 h = hl + 1; 25 26 27 if(abs(hl - hr) < 2 && bl ==1 && br == 1) 28 balance = 1; 29 else 30 balance = 0; 31 } 32 }
插入操作
先按照二叉排序树的插入过程进行插入，然后对插入后的二叉排序树进行调整，将其调整为平衡二叉树。
调整过程：调整过程是针对最小的不平衡子树，也就是从我们的插入结点开始依次向上找到最小的不平衡子树。
根据不平衡的情况，我们分为了四种调整的过程。
LL平衡旋转（右单旋转）
原因：在结点A的左孩子的左子树上插入新结点导致二叉树的不平衡
调整方法：右旋操作：将A的左孩子B代替A，将A结点称为B的右子树根节点，而B的原右子树作为A的左子树。
RR平衡旋转（左单旋转）
原因：在结点A的右孩子的右子树上插入了新结点导致了二叉树的不平衡
调整：左旋操作，将A的右孩子B代替A，将A结点称为B的左子树根结点，而B的原左子数则作为A的右子树。
LR平衡旋转（先左后右双旋转）
原因：在结点A的左孩子的右子树上插入了新结点
调整：先左旋后右旋操作：先将A的左孩子B的右孩子结点C代替B，然后再将C结点向上代替A的位置
1.在本图中，既可以插到C结点的左子树CL上，也可以插到C结点的右子树CR上
2.本图是将结点插入到了CL子树上，所以CL是H层， CR是H-1层。
3.之所以标注（H）是考虑到CL和CR可能是空的
RL平衡旋转（先右后做双旋转）
原因：在结点A的右孩子的左子树上插入了新结点
调整方法：先右旋后左旋操作：将A的右孩子B的左孩子结点C代替B，然后再将C结点向上代替A的位置
