P4139 上帝与集合的正确用法

本题是欧拉定理的应用。我这种蒟蒻当然不知道怎么证明啦！

那么我们就不证明了，来直接看结论:

   

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%φ(p)abab%φ(p)+φ(p)gcd(a,p)=1gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp)

或者

ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod pab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod p)

或者观看这个

那么再来看本题，主要使用了后者：

所以可以写出递归式：

f(p)=qpow(2,f(ask_phi(p))+ask_phi(p),p);

得解。

题外话：我本来先打个表求出10^7以内的phi[]，然后直接调用的，结果全T...

发现n<=1000，就用了ask_phi()，然后就过了。

#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 10000010;
typedef long long LL;

LL phi[N];

void make_phi(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i+=2) phi[i]/=2;
    for(int i=3;i<=n;i+=2)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=(phi[j]/i)*(i-1);
        }
    }
    return;
}

LL ask_phi(int x)
{
    LL ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            while(x%i==0) x/=i;
            ans=(ans/i)*(i-1);
        }
    }
    if(x>1) ans=(ans/x)*(x-1);
    return ans;
}

LL qpow(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%m;
        b=b>>1;
        a=(a*a)%m;
    }
    return ans;
}

LL f(int p)
{
    if(p==1) return 0;
    return qpow(2,f(ask_phi(p))+ask_phi(p),p);
}

int main()
{
    int n,x;
    scanf("%d",&n);
    //make_phi(N);
    while(n--)
    {
        scanf("%d",&x);
        printf("%lld
",f(x));
    }
    return 0;
}

我们学到了什么姿势：

1.欧拉函数：φ(n)=[1,n]中与n互质的数的个数。

求phi(x):

LL ask_phi(int x)
{
    LL ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            while(x%i==0) x/=i;
            ans=(ans/i)*(i-1);
        }
    }
    if(x>1) ans=(ans/x)*(x-1);
    return ans;
}

打表phi[]：

void make_phi(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i+=2) phi[i]/=2;
    for(int i=3;i<=n;i+=2)
    {
        if(phi[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=(phi[j]/i)*(i-1);
        }
    }
    return;
}

二进制快速幂：

LL qpow(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%m;
        b=b>>1;
        a=(a*a)%m;
    }
    return ans;
}