LOJ#3119 随机立方体

解：极大值至少为1。我们尝试把最大那个数的影响去掉。

最大那个数所在的一层(指一个三维十字架)都是不可能成为最大值的。

考虑容斥。我们试图求除了最大值以外至少有k个极大值的概率。

我们钦定某k个位置是极大值，且钦定顺序。这样的方案数有n^i↓m^i↓L^i↓种。

考虑每种方案的概率。从小到大考虑，对于最小的那个极大值，如果是极大值，就要大于一个三维十字架中的所有数，这样的概率是1 / 集合大小。

对于次小极大值，它要大于自己的三维十字架和最小值的三维十字架的并。概率还是1 / 集合大小。

于是依次考虑完每个极大值，把概率求积即可。容斥的时候记得乘组合数。

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;

const int MO = 998244353, N = 5000010;

int n, m, K, L;
int fac[N], inv[N], invn[N];

inline int qpow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % MO;
        a = 1ll * a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}
inline int Inv(int x) {
    if(x < N) return inv[x];
    return qpow(x, MO - 2);
}
inline int C(int n, int m) {
    return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
}
inline int Down(int n, int k) {
    return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
}
inline int iDown(int n, int k) {
    return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
}
inline int dec(int x) {
    return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
}

inline void solve() {
    
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
    int ans = 0, lm = std::min(std::min(n, m), L);
    int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;
    for(int i = K - 1; i <= lm; i++) {
        int p = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j++) {
            p = 1ll * p * (n - i + j - 1) % MO * (m - i + j - 1) % MO * (L - i + j - 1) % MO;
            p = 1ll * Inv((V - dec(j) + MO) % MO) * p % MO;
        }
        p = 1ll * p * C(i, K - 1) % MO;
        if((K - i) & 1) {
            ans = (ans + p) % MO;
        }
        else {
            ans = (ans - p) % MO;
        }
    }
    printf("%d
", (ans + MO) % MO);
    return;
}

int main() {

    fac[0] = inv[0] = invn[0] = 1;
    fac[1] = inv[1] = invn[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % MO;
        inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
        invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - 1] % MO;
    }
    
    //printf(" = %lld 
", 142606337ll * fac[8] % MO);
    
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>

#pragma GCC optimize("Ofast") 

typedef long long LL;

const int MO = 998244353, N = 5000010;

int n, m, K, L;
int fac[N], inv[N], invn[N], val[N], ival[N], D[N];

inline int qpow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % MO;
        a = 1ll * a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}
inline int Inv(int x) {
    if(x < N && x >= 0) return inv[x];
    return qpow(x, MO - 2);
}
inline int C(int n, int m) {
    if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
    return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
}
inline int Down(int n, int k) {
    return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;
}
inline int iDown(int n, int k) {
    return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;
}
inline int dec(int x) {
    return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;
}

inline void solve() {
    
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);
    K--;
    int ans(0), lm(std::min(std::min(n, m), L));
    int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;
    
    val[0] = 1;
    D[0] = V;
    for(register int i(1); i <= lm; ++i) {
        D[i] = (dec(i));
        val[i] = 1ll * val[i - 1] * (V - D[i]) % MO;
    }
    ival[lm] = qpow(val[lm], MO - 2);
    for(register int i(lm - 1); i >= K; --i) {
        ival[i] = 1ll * ival[i + 1] * (V - D[i + 1]) % MO;
    }
    int t = 1ll * Down(n - 1, K - 1) * Down(m - 1, K - 1) % MO * Down(L - 1, K - 1) % MO;
    for(register int i(K); i <= lm; ++i) {
        //t = 1ll * t * (n - i) % MO * (m - i) % MO * (L - i) % MO * inv[i - K] % MO;
        t = 1ll * t * D[i] % MO * inv[i - K] % MO;
        int p = 1ll * t * ival[i] % MO * fac[i] % MO;
        ((K + i) & 1) ? ans -= p : ans += p;
        if(ans >= MO) ans -= MO;
        if(ans < 0) ans += MO;
    }
    ans = 1ll * ans * invn[K] % MO;
    printf("%d
", ans < 0 ? ans + MO : ans);
    return;
}

/*
1
1000 1000 1000 10
*/

int main() {

    fac[0] = inv[0] = invn[0] = 1;
    fac[1] = inv[1] = invn[1] = 1;
    for(register int i(2); i < N; ++i) {
        fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % MO;
        inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
        invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - 1] % MO;
    }
    
    //printf(" = %lld 
", 142606337ll * fac[8] % MO);
    
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

这题非常卡常...