FWT

快速沃尔什变换

fengwentao

解决集合卷积。说人话就是把FFT下标的+变成位运算。

&和|的FWT可以用高维前缀和来理解。

考虑对于A | B = C，我们有A'_i = ∑A_j，其中j⊂i。B同理。

接下来我们把A'和B'对位相乘得C'。显然有C'_i = ∑C_j，其中j⊂i。

接下来把C逆变换回去即可。

考虑怎么求A'。

我们先求一次A⁰，A⁰_i表示二进制第0位是i的子集，0位以上都是严格等于i的位置权值和。

然后求A¹，A¹_i表示二进制0,1位都是i的子集，而1位以上严格等于i的位置权值和。

然后搞完最高位就完事了。逆变换就反着来。

异或是什么毒瘤？见鬼去吧！

核心片段背诵：

|：(0, 1) -> (0, 0 + 1)          逆：(0, 1) -> (0, 0 - 1)

&：(0, 1) -> (0 + 1, 1)              (0, 1) -> (0 - 1, 1)

^：(0, 1) -> (0 + 1, 0 - 1)          (0, 1) -> ((0 + 1) / 2， (0 - 1) / 2)

写法跟FFT差不多，尤其是xor...

首先是裸到爆炸的模板题...

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 140010, MO = 998244353, inv2 = 499122177;

int a[N], b[N], c[N];

inline void FWT_or(int *a, int n, int f) {
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                a[i + len + j] = (a[i + len + j] + f * a[i + j]) % MO;
            }
        }
    }
    return;
}

inline void FWT_and(int *a, int n, int f) {
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                a[i + j] = (a[i + j] + f * a[i + len + j]) % MO;
            }
        }
    }
    return;
}

inline void FWT_xor(int *a, int n, int f) {
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                int t = a[i + len + j];
                a[i + len + j] = (a[i + j] - t) % MO;
                a[i + j] = (a[i + j] + t) % MO;
                if(f == -1) {
                    a[i + j] = 1ll * a[i + j] * inv2 % MO;
                    a[i + len + j] = 1ll * a[i + len + j] * inv2 % MO;
                }
            }
        }
    }
    return;
}

int main() {

    int lm, n;
    scanf("%d", &lm);
    n = 1 << lm;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &b[i]);
    }

    FWT_or(a, n, 1); FWT_or(b, n, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MO;
    FWT_or(a, n, -1); FWT_or(b, n, -1); FWT_or(c, n, -1);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", (c[i] + MO) % MO);
    }
    puts("");

    FWT_and(a, n, 1); FWT_and(b, n, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MO;
    FWT_and(a, n, -1); FWT_and(b, n, -1); FWT_and(c, n, -1);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", (c[i] + MO) % MO);
    }
    puts("");

    FWT_xor(a, n, 1); FWT_xor(b, n, 1);
    for(int i = 0; i < n; i++) c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MO;
    FWT_xor(a, n, -1); FWT_xor(b, n, -1); FWT_xor(c, n, -1);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", (c[i] + MO) % MO);
    }
    puts("");

    return 0;
}