线性基

感觉上跟高斯消元很像但是实际上好写一些。

很重要的思想是贪心。证明不会。

构造：依次考虑，如果没有就插入，有就异或。

取最大值：依次考虑，如果异或之后变大就异或。

合并：log²暴力。

性质：线性基中的元素任意异或不会为0。线性基能异或出所有成功插入进它的元素。

struct Base {
    LL a[63];
    Base() {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    inline void insert(LL x) {
        for(int i = 62; i >= 0 && x; i--) {
            if(((x >> i) & 1) == 0) {
                continue;
            }
            if(!a[i]) {
                a[i] = x;
                break;
            }
            x ^= a[i];
        }
        return;
    }
    inline LL getMax(LL ans) {
        for(int i = 62; i >= 0; i--) {
            if((ans ^ a[i]) > ans) {
                ans ^= a[i];
            }
        }
        return ans;
    }
    inline void merge(const Base &w) {
        for(int i = 62; i >= 0; i--) {
            if(w.a[i]) {
                insert(w.a[i]);
            }
        }
        return;
    }
};

题目：

bzoj2460 贪心插入。正确性不会。

bzoj2115 构出搜索树，发现所有环都能够取到，于是把所有环的异或和插入线性基。随便找一条路径的权值，扔进线性基中找最大值。

loj#2013 树上倍增/点分治 + 线性基合并。注意点分治不能处理单个点的情况，特判。

CF724G  前半部分跟bzoj2115一样，后面拆位考虑每一位的贡献。组合数学一波。注意2 ^ i * xxx可能会爆long long

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

typedef long long LL;
const int N = 100010;
const LL MO = 1e9 + 7;

struct Edge {
    int nex, v;
    LL len;
}edge[N * 4]; int tp;

int vis[N], cnt, top, e[N];
LL base[63], d[N], stk[N], pw[63];

inline void insert(LL x) {
    for(int i = 62; i >= 0 && x; i--) {
        if(!(x >> i)) {
            continue;
        }
        if(!base[i]) {
            base[i] = x;
            cnt++;
            break;
        }
        x ^= base[i];
    }
    return;
}

inline void add(int x, int y, LL z) {
    tp++;
    edge[tp].v = y;
    edge[tp].len = z;
    edge[tp].nex = e[x];
    e[x] = tp;
    return;
}

inline void clear() {
    memset(base, 0, sizeof(base));
    cnt = top = 0;
    return;
}

void DFS(int x) {
    stk[++top] = d[x];
    for(int i = e[x]; i; i = edge[i].nex) {
        int y = edge[i].v;
        if(d[y] != -1) {
            insert(d[y] ^ d[x] ^ edge[i].len);
            continue;
        }
        d[y] = d[x] ^ edge[i].len;
        DFS(y);
    }
    return;
}

inline LL cal() {
    LL ans = 0;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) {
        // cal i pos
        bool f = 0; LL cnt0 = 0, cnt1 = 0;
        for(int j = 62; j >= i; j--) {
            if((base[j] >> i) & 1) {
                f = 1;
                break;
            }
        }
        for(int j = 1; j <= top; j++) {
            ((stk[j] >> i) & 1) ? cnt1++ : cnt0++;
        }
        if(f) {
            LL cnt2 = cnt0 + cnt1;
            (ans += cnt2 * (cnt2 - 1) / 2 % MO * pw[cnt - 1] % MO * pw[i] % MO) %= MO;
        }
        else {
            (ans += cnt0 * cnt1 % MO * pw[cnt] % MO * pw[i] % MO) %= MO;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n, m;
    pw[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 62; i++) {
        pw[i] = pw[i - 1] * 2 % MO;
    }
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int x, y; LL z;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
        add(x, y, z);
        add(y, x, z);
    }
    LL ans = 0;
    memset(d, -1, sizeof(d));
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(d[i] == -1) {
            d[i] = 0;
            DFS(i);
            ans = (ans + cal()) % MO;
            clear();
        }
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}

 bzoj4644 经典傻逼题

每个点的点权为与它相连的边的权值异或和。求最大权点集即可。

线段树分治 + 线性基 + bitset。