洛谷P4175 网络管理

题意：链上带修第k大。

这毒瘤题。。。别看题意只有7个字，能把我吊打死。。。

介绍其中两种做法好了。其实思想上是一样的。

对于每一个点，建立权值线段树，维护它到根路径上的所有权值。

一条路径上的点集就是x + y - z - fa z，此处z是lca x y

这样查询就可以轻易做到了。怎么建出来呢？

考虑每个点都要在它的子树中插入。那么我们搞出DFS序来，子树就是上面的一段区间。

我们就要对于这个DFS序，支持区间加（插入），单点求值。很容易想到树状数组+差分。

那么我们就用树状数组维护差分后的值域线段树，这样就是单点修改和区间求和了。

也就是树状数组套线段树...

具体实现上，查询操作有点小技巧。因为要同时查4个位置然后加加减减，每个位置又会涉及查询log棵线段树，所以就用一个now i来维护i版本的线段树当前走到的节点，用一个栈来存要用到的线段树以便更新。

然后修改操作嘛，就是删除之前的再加上新的。

时间复杂度nlog²n。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 100010, lm = 1e8, M = 22000010;

struct Edge {
    int nex, v;
}edge[N << 1]; int top;

int e[N], p[N], num, val[N], pos[N], n, ed[N], fa[N][20], tot, pw[N], d[N], rt[N], now[N], tp;
int sum[M], ls[M], rs[M];
bool vis[N];

inline void add(int x, int y) {
    top++;
    edge[top].v = y;
    edge[top].nex = e[x];
    e[x] = top;
    return;
}

void DFS(int x, int f) {
    fa[x][0] = f;
    d[x] = d[f] + 1;
    pos[x] = ++num;
    for(int i = e[x]; i; i = edge[i].nex) {
        int y = edge[i].v;
        if(y != f) {
            DFS(y, x);
        }
    }
    ed[x] = num;
    return;
}

void Add(int p, int v, int l, int r, int &o) {
    if(!o) {
        o = ++tot;
    }
    if(l == r) {
        sum[o] += v;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(p <= mid) {
        Add(p, v, l, mid, ls[o]);
    }
    else {
        Add(p, v, mid + 1, r, rs[o]);
    }
    sum[o] = sum[ls[o]] + sum[rs[o]];
    return;
}

inline void insert(int id, int p, int v) {
    for(int i = id; i <= num; i += (i & (-i))) {
        Add(p, v, 1, lm, rt[i]);
    }
    return;
}

inline int lca(int x, int y) {
    if(d[x] > d[y]) {
        std::swap(x, y);
    }
    int t = pw[n];
    while(t >= 0 && d[y] > d[x]) {
        if(d[fa[y][t]] >= d[x]) {
            y = fa[y][t];
        }
        t--;
    }
    if(x == y) {
        return x;
    }
    t = pw[n];
    while(t >= 0 && fa[x][0] != fa[y][0]) {
        if(fa[x][t] != fa[y][t]) {
            x = fa[x][t];
            y = fa[y][t];
        }
        t--;
    }
    return fa[x][0];
}

inline int ask(int k, int x, int y) {
    int z = lca(x, y);
    if(d[x] + d[y] - 2 * d[z] + 1 < k) {
        return -1;
    }
    // x + y - z - fa[z]
    int w = fa[z][0];
    x = pos[x], y = pos[y], z = pos[z], w = pos[w];
    for(int i = x; i >= 1; i -= (i & (-i))) {
        if(!vis[i]) {
            vis[i] = 1;
            p[++tp] = i;
            now[i] = rt[i];
        }
    }
    for(int i = y; i >= 1; i -= (i & (-i))) {
        if(!vis[i]) {
            vis[i] = 1;
            p[++tp] = i;
            now[i] = rt[i];
        }
    }
    for(int i = z; i >= 1; i -= (i & (-i))) {
        if(!vis[i]) {
            vis[i] = 1;
            p[++tp] = i;
            now[i] = rt[i];
        }
    }
    for(int i = w; i >= 1; i -= (i & (-i))) {
        if(!vis[i]) {
            vis[i] = 1;
            p[++tp] = i;
            now[i] = rt[i];
        }
    }
    //
    int l = 1, r = lm;
    while(l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1, s = 0;
        for(int i = x; i >= 1; i -= i & (-i)) {
            s += sum[rs[now[i]]];
        }
        for(int i = y; i >= 1; i -= i & (-i)) {
            s += sum[rs[now[i]]];
        }
        for(int i = z; i >= 1; i -= i & (-i)) {
            s -= sum[rs[now[i]]];
        }
        for(int i = w; i >= 1; i -= i & (-i)) {
            s -= sum[rs[now[i]]];
        }
        if(k <= s) { // rs
            for(int i = 1; i <= tp; i++) {
                now[p[i]] = rs[now[p[i]]];
            }
            l = mid + 1;
        }
        else { // ls
            k -= s;
            for(int i = 1; i <= tp; i++) {
                now[p[i]] = ls[now[p[i]]];
            }
            r = mid;
        }
    }
    for(int i = 1; i <= tp; i++) {
        vis[p[i]] = 0;
    }
    tp = 0;
    return r;
}

inline void init() {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        pw[i] = pw[i >> 1] + 1;
    }
    for(int j = 1; j <= pw[n]; j++) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
        }
    }
    return;
}

int main() {
    int q;
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &val[i]);
    }
    for(int i = 1, x, y; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    // prework

    DFS(1, 0);
    init();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        // [pos[i], ed[i]] insert val[i] 1
        insert(pos[i], val[i], 1);
        insert(ed[i] + 1, val[i], -1);
    }

    for(int i = 1, f, x, y; i <= q; i++) {
        scanf("%d%d%d", &f, &x, &y);
        if(f == 0) { // change val[x] = y
            // [pos[x] ed[x]] insert val[x]
            insert(pos[x], val[x], -1);
            insert(ed[x] + 1, val[x], 1);
            insert(pos[x], y, 1);
            insert(ed[x] + 1, y, -1);
            val[x] = y;
        }
        else { /// ask fth
            int t = ask(f, x, y);
            if(t == -1) {
                puts("invalid request!");
            }
            else {
                printf("%d
", t);
            }
        }
    }
    return 0;
}

接下来是线段树套线段树的写法。

离散化之后外层值域线段树，内层线段树每个点按照DFS序维护，该点到根的路径上，有多少点的权值在外层树这个范围内。

查询的时候也是值域线段树上二分。利用lca转化成4个内层线段树单点求值再加加减减。

建树的时候，每个点要在外层树上从上往下log个内层树中插入。内层树中要在它的子树插入，又是一段区间。

修改就是跟建树差不多的操作，删去旧的再加上新的。

开了O2还慢的飞起...好歹是过了。

时间复杂度同上。

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int N = 80010, M = 30000010;

struct Node {
    int f, x, y;
}node[N];

struct Edge {
    int nex, v;
}edge[N << 1]; int top;

int e[N], n, num, tot, pw[N], pos[N], ed[N], fa[N][20], d[N], rt[N << 2], temp, val[N], X[N << 1];
int tag[M], ls[M], rs[M], sum[M];

inline void add(int x, int y) {
    top++;
    edge[top].v = y;
    edge[top].nex = e[x];
    e[x] = top;
    return;
}

inline void pushdown(int l, int r, int o) {
    if(!tag[o]) {
        return;
    }
    if(!ls[o]) {
        ls[o] = ++tot;
    }
    if(!rs[o]) {
        rs[o] = ++tot;
    }
    tag[ls[o]] += tag[o];
    tag[rs[o]] += tag[o];
    int mid = (l + r) >> 1;
    sum[ls[o]] += tag[o] * (mid - l + 1);
    sum[rs[o]] += tag[o] * (r - mid);
    tag[o] = 0;
    return;
}

void DFS(int x, int f) {
    fa[x][0] = f;
    d[x] = d[f] + 1;
    pos[x] = ++num;
    for(int i = e[x]; i; i = edge[i].nex) {
        int y = edge[i].v;
        if(y != f) {
            DFS(y, x);
        }
    }
    ed[x] = num;
    return;
}

inline void init() {
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        pw[i] = pw[i >> 1] + 1;
    }
    for(int j = 1; j <= pw[n]; j++) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
        }
    }
    return;
}

inline int lca(int x, int y) {
    if(d[x] > d[y]) {
        std::swap(x, y);
    }
    int t = pw[n];
    while(t >= 0 && d[y] > d[x]) {
        if(d[fa[y][t]] >= d[x]) {
            y = fa[y][t];
        }
        t--;
    }
    if(x == y) {
        return x;
    }
    t = pw[n];
    while(t >= 0 && fa[x][0] != fa[y][0]) {
        if(fa[x][t] != fa[y][t]) {
            x = fa[x][t];
            y = fa[y][t];
        }
        t--;
    }
    return fa[x][0];
}

void Add(int L, int R, int v, int l, int r, int &o) {
    //printf("add : %d %d %d %d %d %d 
", L, R, v, l, r, o);
    if(!o) {
        o = ++tot;
    }
    if(L <= l && r <= R) {
        tag[o] += v;
        sum[o] += (r - l + 1) * v;
        return;
    }
    pushdown(l, r, o);
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(L <= mid) {
        Add(L, R, v, l, mid, ls[o]);
    }
    if(mid < R) {
        Add(L, R, v, mid + 1, r, rs[o]);
    }
    sum[o] = sum[ls[o]] + sum[rs[o]];
    return;
}

void insert(int L, int R, int v, int p, int l, int r, int o) {
    //printf("insert val [%d %d]  
", l, r);
    Add(L, R, v, 1, n, rt[o]);
    if(l == r) {
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(p <= mid) {
        insert(L, R, v, p, l, mid, o << 1);
    }
    else {
        insert(L, R, v, p, mid + 1, r, o << 1 | 1);
    }
    return;
}

int getSum(int p, int l, int r, int o) {
    if(!o) {
        return 0;
    }
    if(l == r) {
        return sum[o];
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    pushdown(l, r, o);
    if(p <= mid) {
        return getSum(p, l, mid, ls[o]);
    }
    else {
        return getSum(p, mid + 1, r, rs[o]);
    }
}

int Ask(int k, int x, int y, int z, int w, int l, int r, int o) {
    if(l == r) {
        return r;
    }
    int s = 0;
    s += getSum(x, 1, n, rt[o << 1 | 1]);
    s += getSum(y, 1, n, rt[o << 1 | 1]);
    s -= getSum(z, 1, n, rt[o << 1 | 1]);
    if(w) {
        s -= getSum(w, 1, n, rt[o << 1 | 1]);
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(k <= s) {
        return Ask(k, x, y, z, w, mid + 1, r, o << 1 | 1);
    }
    else {
        k -= s;
        return Ask(k, x, y, z, w, l, mid, o << 1);
    }
}

inline int ask(int k, int x, int y) {
    int z = lca(x, y);
    if(d[x] + d[y] - d[z] * 2 + 1 < k) {
        return -1;
    }
    int w = fa[z][0];
    x = pos[x];
    y = pos[y];
    z = pos[z];
    w = pos[w];
    return Ask(k, x, y, z, w, 1, temp, 1);
}

int main() {
    int q;
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &val[i]);
        X[++temp] = val[i];
    }
    for(int i = 1, x, y; i < n; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        scanf("%d%d%d", &node[i].f, &node[i].x, &node[i].y);
        if(node[i].f == 0) {
            X[++temp] = node[i].y;
        }
    }
    // prework
    std::sort(X + 1, X + temp + 1);
    temp = std::unique(X + 1, X + temp + 1) - X - 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        val[i] = std::lower_bound(X + 1, X + temp + 1, val[i]) - X;
    }
    for(int i = 1; i <= q; i++) {
        if(node[i].f == 0) {
            node[i].y = std::lower_bound(X + 1, X + temp + 1, node[i].y) - X;
        }
    }

    DFS(1, 0);
    init();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        insert(pos[i], ed[i], 1, val[i], 1, temp, 1);
    }
    for(int i = 1, f, x, y; i <= q; i++) {
        f = node[i].f;
        x = node[i].x;
        y = node[i].y;
        if(f == 0) { // change
            insert(pos[x], ed[x], -1, val[x], 1, temp, 1);
            insert(pos[x], ed[x], 1, y, 1, temp, 1);
            val[x] = y;
        }
        else { // ask fth
            int t = ask(f, x, y);
            if(t == -1) {
                puts("invalid request!");
            }
            else {
                printf("%d
", X[t]);
            }
        }
    }
    return 0;
}

写的有点乱...