洛谷P3723 礼物

以前看到过，但是搞不倒。知道了算法之后就好搞了。

题意：给定两个长为n的序列，你可以把某个序列全部加上某个数c，变成循环同构序列。

求你操作后的min∑(a_i - b_i)²

解：

设加上的数为c，那么得到一个柿子：∑(a_i - b_i + c)²

拆开：∑a_i² + ∑b_i² - 2∑a_ib_i + nc² + 2c∑(a_i - b_i)

发现其中前两项是常数不用管。第三项是卷积，后两项是关于c的二次函数。

于是后两项用二次函数的对称轴直接搞出来。第三项构造函数卷积，看哪个位置的值最大即可。

具体来说，把a复制成两倍，反转b。然后卷积出来的第n ~ 2n项就是。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

typedef long long LL;
const int N = 300010;
const double pi = 3.1415926535897932384626;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

struct cp {
    double x, y;
    cp(double X = 0, double Y = 0) {
        x = X;
        y = Y;
    }
    inline cp operator +(const cp &w) const {
        return cp(x + w.x, y + w.y);
    }
    inline cp operator -(const cp &w) const {
        return cp(x - w.x, y - w.y);
    }
    inline cp operator *(const cp &w) const {
        return cp(x * w.x - y * w.y, x * w.y + y * w.x);
    }
}a[N], b[N];

int r[N];
LL A[N], B[N];

inline void FFT(int n, cp *a, int f) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i < r[i]) {
            std::swap(a[i], a[r[i]]);
        }
    }
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        cp Wn(cos(pi / len), f * sin(pi / len));
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            cp w(1, 0);
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                cp t = a[i + len + j] * w;
                a[i + len + j] = a[i + j] - t;
                a[i + j] = a[i + j] + t;
                w = w * Wn;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            a[i].x /= n;
        }
    }
    return;
}

int main() {
    int n, m;
    LL XX = 0, YY = 0, SX = 0, SY = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    n--;
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &A[i]);
        SX += A[i];
        XX += A[i] * A[i];
        a[i].x = a[i + n + 1].x = A[i];
    }
    for(int i = 0; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &B[i]);
        SY += B[i];
        YY += B[i] * B[i];
        b[n - i].x = B[i];
    }
    int len = 2, lm = 1;
    while(len <= n * 3) {
        len <<= 1;
        lm++;
    }
    for(int i = 1; i <= len; i++) {
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lm - 1));
    }

    FFT(len, a, 1);
    FFT(len, b, 1);
    for(int i = 0; i <= len; i++) {
        a[i] = a[i] * b[i];
    }
    FFT(len, a, -1);

    LL ans = -INF;
    for(int i = n; i <= n * 2; i++) {
        ans = std::max(ans, (LL)(a[i].x + 0.5));
    }

    double C = -1.0 * (SX - SY) / (n + 1);
    LL c = (int)(C);
    LL temp = std::min((n + 1) * c * c + 2 * (SX - SY) * c, (n + 1) * (c + 1) * (c + 1) + 2 * (SX - SY) * (c + 1));
    temp = std::min(temp, (n + 1) * (c - 1) * (c - 1) + 2 * (SX - SY) * (c - 1));

    printf("%lld
", XX + YY - 2 * ans + temp);

    return 0;
}