洛谷P3321 序列统计

气死了，FFT了半天发现是NTT... 1004535809 这个东西是NTT模数，原根为3。

题意：给定集合，元素的大小不超过M。用这些元素组成长为n的序列，要求乘积模M为k，求方案数。

n <= 1e9，M是质数

解：有一个10分的暴力DP...

正解首先考虑加起来模M为k。

我们可以考虑构造多项式f(x)，第i项表示i是否在集合内。

那么答案就是(f(x))ⁿ的第k项系数。多项式快速幂。

这个东西的长度可能会很长，那么我们每次乘完之后就把多于M项的系数全部模到小于M。

然后这道题求的是乘积不是和....原根！

因为质数都有原根，然后两个数相乘等于原根指数相加。做完了。

注意原根的指数模的是φ(M)而不是M。还有千万不要用FFT，因为会爆double

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>

typedef long long LL;
const int N = 8010;
const LL MO = 1004535809, g = 3;

int r[N << 2], b[N], vis[N];
LL f[N << 2], ans[N << 2], a[N << 2], c[N << 2];

inline LL qpow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) {
            ans = ans * a % MO;
        }
        a = a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

inline void NTT(int n, LL *a, int f) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i < r[i]) {
            std::swap(a[i], a[r[i]]);
        }
    }
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        LL Wn = qpow(g, (MO - 1) / (len << 1));
        if(f == -1) {
            Wn = qpow(Wn, MO - 2);
        }
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            LL w = 1;
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                LL t = a[i + len + j] * w % MO;
                a[i + len + j] = (a[i + j] - t + MO) % MO;
                a[i + j] = (a[i + j] + t) % MO;
                w = w * Wn % MO;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        LL inv = qpow(n, MO - 2);
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            a[i] = a[i] * inv % MO;
        }
    }
    return;
}

inline int getG(int x) {
    for(int i = 1; i < x; i++) {
        memset(vis, 0, x * sizeof(int));
        int now = 1, fd = 0;
        for(int t = 1; t < x; t++) {
            now = now * i % x;
            if(vis[now]) {
                fd = 1;
                break;
            }
            vis[now] = t;
        }
        if(!fd) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    int n, m, mod, k;
    scanf("%d%d%d%d", &n, &mod, &k, &m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &b[i]);
    }
    getG(mod);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        b[i] = vis[b[i]];
        if(b[i]) {
            f[b[i]] = 1;
        }
    }
    k = vis[k];

    int len = 2, lm = 1;
    while(len <= ((mod - 1) << 1)) {
        len <<= 1;
        lm++;
    }
    for(int i = 1; i <= len; i++) {
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lm - 1));
    }

    /*printf("g = %d 
", g);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        printf("%d ", b[i]);
    }
    puts("");
    for(int i = 0; i < mod; i++) {
        printf("%d ", f[i]);
    }
    puts("
");*/

    ans[0] = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) {
            for(int i = 0; i <= len; i++) {
                a[i] = f[i];
                c[i] = ans[i];
            }
            NTT(len, a, 1);
            NTT(len, c, 1);
            for(int i = 0; i <= len; i++) {
                c[i] = a[i] * c[i] % MO;
            }
            NTT(len, c, -1);
            for(int i = 0; i <= len; i++) {
                ans[i] = c[i];
            }
            for(int i = len; i >= mod; i--) {
                (ans[i - mod + 1] += ans[i]) %= MO;
                ans[i] = 0;
            }
        }
        for(int i = 0; i <= len; i++) {
            a[i] = f[i];
        }
        NTT(len, a, 1);
        for(int i = 0; i <= len; i++) {
            a[i] = a[i] * a[i] % MO;
        }
        NTT(len, a, -1);
        for(int i = 0; i <= len; i++) {
            f[i] = a[i];
        }
        for(int i = len; i >= mod; i--) {
            (f[i - mod + 1] += f[i]) %= MO;
            f[i] = 0;
        }
        n >>= 1;
        /*printf("f   : ");
        for(int i = 0; i < mod; i++) {
            printf("%d ", f[i]);
        }
        printf("
ans : ");
        for(int i = 0; i < mod; i++) {
            printf("%d ", ans[i]);
        }
        puts("");*/
    }

    printf("%lld", ans[k]);
    return 0;
}