【随机过程】几种容易混淆的概率分布

几种容易混淆的概率分布

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伯努利分布：

伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1−p。

二项分布：

二项分布，即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

多项式分布：

多项式分布（Multinomial Distribution）是二项式分布的推广。

二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p,重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。（严格定义见伯努利实验定义）。把二项分布公式推广至多种状态，就得到了多项分布。例如在上面例子中1出现k1次，2出现k2次，3出现k3次的概率分布情况。

某随机实验如果有k个可能结局A1、A2、…、Ak，分别将他们的出现次数记为随机变量X1、X2、…、Xk，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，那么在n次采样的总结果中，A1出现x1次、A2出现x2次、…、Ak出现xk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

f(x1,…,xk;n,p1,…,pk)=Pr(X1=x1 and … and Xk=xk)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪n!x1!⋯xk!px11⋯pxkk,0when ∑ki=1xi=notherwise,

指数分布：

f(x;λ)={λe−λx0x≥0,x<0.

具有恒定损坏率的器件寿命；排队中到达服务设施的各顾客的到达时间间隔等服从指数分布；对应于随机过程中泊松过程中的Xn，表示n-1件事情到达与n件事情达到的时间间隔，它是服从参数为λ的指数分布。

泊松分布：

f(k;λ)=Pr(X=k)=λke−λk!,

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

泊松过程是一个非常常用的建模工具，对于大部分的增量一般和平稳且独立的过程，基本上可以通过泊松过程予以建模。

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2015-10-26 总结 张朋艺