Pendant 题解(斯特兰数+矩阵快速幂)

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题目思路

其实本题就是第二类特兰数的式子

(dp[i][j]=dp[i-1][j]*(i-1)+dp[i][j-1]*(k-j+1);)

但是(n)太大，所以使用矩阵快速幂递推

然后再对所有矩阵求和即可

代码

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fi first
#define se second
#define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=31,inf=0x3f3f3f3f,mod=1234567891;
const double eps=1e-6;
int n,k;
struct matrix{
    ll a[maxn][maxn];
}base,basetemp,ans,zero;
matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); //一定1要清空
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            for(int k=0;k<=n;k++){
                temp.a[i][k]+=(a.a[i][j])*(b.a[j][k]);
                temp.a[i][k]%=mod;
            }
        }
    }
    return temp;
}
matrix add(matrix a,matrix b){
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a)); //一定1要清空
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            temp.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
        }
    }
    return temp;
}
matrix qpow(ll n,ll b){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            ans.a[i][j]=(i==j);
            base.a[i][j]=basetemp.a[i][j];
        }
    }
    while(b){
        if(b&1){
            ans=mul(ans,base);
        }
        base=mul(base,base);
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
matrix dfs(int x){
    if(x==0){
        return zero;
    }
    if(x%2==1){
        matrix temp1=qpow(n,x);
        x--;
        matrix temp2=dfs(x);
        matrix tempsum=add(temp1,temp2);
        return tempsum;
    }else{
        matrix temp1=qpow(n,x/2);
        for(int i=0;i<=n;i++){
            temp1.a[i][i]=(temp1.a[i][i]+1)%mod;
        }
        matrix temp2=dfs(x/2);
        matrix tempsum=mul(temp1,temp2);
        return tempsum;
    }
}
signed main(){
    // dp[i][j]=dp[i-1][j]*(i-1)+dp[i][j-1]*(k-j+1);
    int _;scanf("%d",&_);
    while(_--){
        scanf("%d%d",&k,&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            basetemp.a[i][i]=i;
            basetemp.a[i-1][i]=n-i+1;
        }
        matrix pr=dfs(k);
        printf("%lld
",pr.a[0][n]);
    }
    return 0;
}