系数 题解(lucas+思维)

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题目思路

这个题目的关键就是 答案模3

要利用这个来突破

令\(y=x^2+x+1\)

则\(y^n=(y+3x)^n\)

因为\((y+3x)^n=C_n^0y^n+C_n^1y^{n-1}(3x)^1+C_n^2y^{n-2}(3x)^2.....\)

显然只有\(C_n^0y^n\mod 3\ne 0\)

那么就可以得证

则\((x^2-2x+1)^n=(x-1)^{2n}\)

那么\(ans=C_{2n}^k(-1)^{2n-k}\)

\(C_{2n}^k\)使用lucas求解

时间复杂度\(O(tlog_3^n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=3e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int eps=1e-6;
ll n,k;
ll fac[4];
ll cal(ll a,ll b){
    if(a<b) return 0;
    else    return fac[a]/fac[b]/fac[a-b]%3;
}
ll lucas(ll a,ll b){
    if(b==0) return 1;
    return lucas(a/3,b/3)*cal(a%3,b%3)%3;
}
signed main(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=3;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i;
    }
    int _;scanf("%d",&_);
    while(_--){
        scanf("%lld%ld",&n,&k);
        ll ans=lucas(2*n,k);
        if(k%2==1) ans=(-ans+3)%3;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}