题目链接
题目大意
计算\(C_n^0+C_n^4+C_n^8+......C_n^n (n \mod 4=0 ;1\leq n \leq 1e18)\)
题目思路
如果是计算\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+......C_n^n\)
显然
\((1+1)^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+......C_n^n\)
\((1-1)^n=C_n^0-C_n^1+C_n^2+......C_n^n\)
两式相加
\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+......C_n^n=2^{n-1}\)
而下面就有点神奇要类比，想到虚数第一次真想不到
\((1+i)^n=C_n^0+C_n^1 i+C_n^2 i^2+......C_n^n i^n\)
\((1-i)^n=C_n^0-C_n^1 i+C_n^2 i^2+......C_n^n i^n\)
而\(i^2=-1\)
则\((1+i)^n+(1-i)^n=2\times (C_n^0-C_n^2+C_n^4+......C_n^n)\)
则\(C_n^0+C_n^4+C_n^8+......C_n^n=\frac{2^n+(i-1)^n+(i+1)^n}{4}\)
而\((i+1)^4=(i-1)^4=-4\)
最终
\(ans=\frac{2^n+2\times (-4)^\frac{n}{4}}{4}\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5,mod=998244353;
ll n;
ll qpow(ll a,ll b){
ll ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1){
ans=ans*base%mod;
}
b=b>>1;
base=base*base%mod;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
ll ans=((qpow(2,n)+2*qpow(-4,n/4))*qpow(4,mod-2)%mod+mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}