HDU 4466 HDOJ Triangle 2012ACM亚洲赛成都赛区C题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4466

题目意思：

　　给定一个长度为n的铁丝，将其分成有顺序的若干份，每份折成三角形，要求所有的三角形相似。

　　三角形顺序不同视为不同方案，三边相等视为同一方案。求方案个数。

首先定义f(x)表示周长为x的三角形个数。

我们用(a,b,c)表示一个三角形，其中a <= b <= c 

将f(x)的所有三角形分为两部分，b=c 和 b!=c 的

　　b = c 的三角形个数

　　　　a至少为1，c的最大值为floor((x-1)/2)

　　　　a<=b<=c，所所以c的最小值为ceil(x/3)

　　　　个数为floor((x-1)/2) - ceil(x/3) + 1。注意x比较小的时候，可能最大值比最小值小，此时差为-1，加1后为0，不影响结果。

　　　　化简后就是程序中的(i-1)/2 - i/3 + (i%3?0:1)

　　b!=c 的三角形个数

　　　　由于b!=c，则b<c，则b<=c - 1

　　　　且a + b > c > c - 1

　　　　所以，(a,b,c-1)也一定是三角形。

　　　　所以这部分的方案数等于 f(x-1) 减去 f(x-1)中满足a + b = c + 1的三角形

　　　　含有a+b=c+1的三角形的x一定为奇数：

　　　　　　此时c = (x-1)/2

　　　　　　方案数floor((x - (x-1)/2)/2)

　　　　化简后就是程序中的(x+1)/4

然后定义g(x)为周长为x的本质三角形个数（官方现场题解给出的概念，就是三边最大公约数为1的三角形）

　　则g(x) = f(x) - sigma(g(k)) ，其中k为小于x的所有x的约数，这个是可以nlogn全部预处理出来

　　　　Ps：刚发现这题其实组数不很多，完全没必要预处理，预处理版本1.7s，直接计算反而更快93ms，见代码版本二。

然后对于题目给定的n，枚举n的所有约数，对于n的约数i，将有n/i个三角形。隔板法可得，对应的分解方案数目为 2^(n/i - 1)

比赛的时候已经想到O(n)求n分解三角形个数地方法。结果没看到所有三角形要相似这个条件，果断变神题。

看到这个条件，哎呀，后悔啊，现场假如没漏看条件说不定就出的，金牌就有希望了啊TAT。

代码如下

　　（新增版本二，无筛选直接计算）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5000000,m=1000000007;
int n,f[N+10],p2[N+10],C;
int l,k[6010],g[6010];
int main()
{
    f[3]=1;p2[1]=1;p2[2]=2;p2[3]=4;
    for(int i=4;i<=N;i++){
        p2[i]=p2[i-1]<<1;
        if(p2[i]>=m) p2[i]-=m;
        f[i]=f[i-1] + (i-1)/2 - i/3 + (i%3?0:1);
        if(!(i&1))f[i]-=i/4;
        if(f[i]>=m) f[i]-=m;
        if(f[i]<0) f[i]+=m;
    }
    while(~scanf("%d",&n)){
        ll ans=0;
        l=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)if(n%i==0){
            k[l++]=i;
            if(i*i!=n)k[l++]=n/i;
        }
        sort(k,k+l);
        for(int i=0;i<l;i++) g[i]=f[k[i]];
        for(int i=0;i<l;i++){
            for(int j=i+1;j<l;j++)if(k[j]%k[i]==0){
                g[j]-=g[i];
                if(g[j]<0)g[j]+=m;
            }
            ans=(ans + (ll)g[i]*p2[n/k[i]])%m;
        }
        printf("Case %d: %I64d\n",++C,(ans+m)%m);
    }
    return 0;
}

　　（版本一）

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5000000,m=1000000007;
int n,f[N+10],p2[N+10],C;
int main()
{
    f[3]=1;p2[1]=1;p2[2]=2;
    for(int i=4;i<=N;i++){
        f[i]=f[i-1] + (i-1)/2 - i/3 + (i%3?0:1);
        if(!(i&1))f[i]-=i/4;
        if(f[i]>=m) f[i]-=m;
        if(f[i]<0) f[i]+=m;
    }
    for(int i=3;i<=N;i++){
        p2[i]=p2[i-1]<<1;
        if(p2[i]>=m) p2[i]-=m;
        for(int j=i+i;j<=N;j+=i){
            f[j]-=f[i];
            if(f[j]<0) f[j]+=m;
        }
    }
    while(~scanf("%d",&n)){
        ll ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)if(n%i==0){
            ans = (ans + (ll)f[i]*p2[n/i])%m;
            if(i*i!=n) ans = (ans + (ll)f[n/i]*p2[i])%m;
        }
        printf("Case %d: %I64d\n",++C,(ans+m)%m);
    }
    return 0;
}