• ACWing丨算法基础课丨基础算法


    快速排序算法模板 —— 模板题 AcWing 785. 快速排序

    void quick_sort(int q[], int l, int r)
    {
        if (l >= r) return;
    
        int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
        while (i < j)
        {
            do i ++ ; while (q[i] < x);
            do j -- ; while (q[j] > x);
            if (i < j) swap(q[i], q[j]);
        }
        quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
    }
    

    归并排序算法模板 —— 模板题 AcWing 787. 归并排序

    void merge_sort(int q[], int l, int r)
    {
        if (l >= r) return;
    
        int mid = l + r >> 1;
        merge_sort(q, l, mid);
        merge_sort(q, mid + 1, r);
    
        int k = 0, i = l, j = mid + 1;
        while (i <= mid && j <= r)
            if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
            else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
        while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
        for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
    }
    

    整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围

    bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
    // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用:
    int bsearch_1(int l, int r)
    {
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
    // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用:
    int bsearch_2(int l, int r)
    {
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (check(mid)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return l;
    }
    

    浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根

    bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质
    
    double bsearch_3(double l, double r)
    {
        const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度,取决于题目对精度的要求
        while (r - l > eps)
        {
            double mid = (l + r) / 2;
            if (check(mid)) r = mid;
            else l = mid;
        }
        return l;
    }
    

    高精度加法 —— 模板题 AcWing 791. 高精度加法

    // C = A + B, A >= 0, B >= 0
    vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
    {
        if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
    
        vector<int> C;
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
        {
            t += A[i];
            if (i < B.size()) t += B[i];
            C.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        if (t) C.push_back(t);
        return C;
    }
    

    高精度减法 —— 模板题 AcWing 792. 高精度减法

    // C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
    vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
    {
        vector<int> C;
        for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
        {
            t = A[i] - t;
            if (i < B.size()) t -= B[i];
            C.push_back((t + 10) % 10);
            if (t < 0) t = 1;
            else t = 0;
        }
    
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
        return C;
    }
    

    高精度乘低精度 —— 模板题 AcWing 793. 高精度乘法

    // C = A * b, A >= 0, b > 0
    vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
    {
        vector<int> C;
    
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
        {
            if (i < A.size()) t += A[i] * b;
            C.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
        return C;
    }
    高精度除以低精度 —— 模板题 AcWing 794. 高精度除法
    // A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
    vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
    {
        vector<int> C;
        r = 0;
        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
        {
            r = r * 10 + A[i];
            C.push_back(r / b);
            r %= b;
        }
        reverse(C.begin(), C.end());
        while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
        return C;
    }
    

    一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和

    S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
    a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
    

    二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和

    S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
    以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为:
    S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
    

    一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分

    给区间[l, r]中的每个数加上c:B[l] += c, B[r + 1] -= c
    

    二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵

    给以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c:
    S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
    

    位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数

    求n的第k位数字: n >> k & 1
    返回n的最后一位1:lowbit(n) = n & -n
    

    双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和

    for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
    {
        while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
    
        // 具体问题的逻辑
    }
    常见问题分类:
        (1) 对于一个序列,用两个指针维护一段区间
        (2) 对于两个序列,维护某种次序,比如归并排序中合并两个有序序列的操作
    

    离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和

    vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
    sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素
    
    // 二分求出x对应的离散化的值
    int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
    {
        int l = 0, r = alls.size() - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (alls[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
    }
    

    区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并

    // 将所有存在交集的区间合并
    void merge(vector<PII> &segs)
    {
        vector<PII> res;
    
        sort(segs.begin(), segs.end());
    
        int st = -2e9, ed = -2e9;
        for (auto seg : segs)
            if (ed < seg.first)
            {
                if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
                st = seg.first, ed = seg.second;
            }
            else ed = max(ed, seg.second);
    
        if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    
        segs = res;
    }
    
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