P2371 [国家集训队]墨墨的等式
题目描述
墨墨突然对等式很感兴趣,他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=Ba_1x_1+a_2y_2+…+a_nx_n=Ba1x1+a2y2+…+anxn=B 存在非负整数解的条件,他要求你编写一个程序,给定N、{an}、以及B的取值范围,求出有多少B可以使等式存在非负整数解。
输入输出格式
输入格式:
输入的第一行包含3个正整数,分别表示NNN 、BMinB_{Min}BMin 、BMaxB_{Max}BMax 分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。
输入的第二行包含N个整数,即数列{an}的值。
输出格式:
输出一个整数,表示有多少b可以使等式存在非负整数解。
输入输出样例
输入样例#1:
2 5 10
3 5
输出样例#1:
5
说明
对于20%的数据,$N≤5N le 5N≤5 ,1≤BMin≤BMax≤101 le B_{Min} le B_{Max} le 101≤BMin≤BMax≤10 $。
对于40%的数据,$N≤10N le 10N≤10 ,1≤BMin≤BMax≤1061 le B_{Min} le B_{Max} le 10^61≤BMin≤BMax≤106 $。
对于100%的数据,(N≤12N le 12N≤12 ,0≤ai≤5∗1050 le a_i le 5*10^50≤ai≤5∗105 ,1≤BMin≤BMax≤10121 le B_{Min} le B_{Max} le 10^{12}1≤BMin≤BMax≤1012) 。
题解
神题。
先做转化,求([l,r])内(B)的个数等价于([0,r] - [0,l - 1])的个数。
从(a)中找到一个最小的非零数(mi),全部膜(mi)。
可以发现若(p)能被拼出,那么(p + mi)也能被拼出。
所有的答案(B)可以按照膜(p)的值分为(p)组,我们找到这(p)组里每一组最小的数即可推算其他数的个数(这些组在数论上叫剩余系)。
怎么求呢?
最短路!
对于每一个可能的(mod p)的余数建一个点,根据(a)的值连边,边权是对应(a)值。
注意空间和(long long)。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
inline long long max(long long a, long long b){return a > b ? a : b;}
inline long long min(long long a, long long b){return a < b ? a : b;}
inline void swap(long long &x, long long &y){long long tmp = x;x = y;y = tmp;}
inline void read(long long &x)
{
x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
while(ch < '0' || ch > '9') c = ch, ch = getchar();
while(ch <= '9' && ch >= '0') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
if(c == '-') x = -x;
}
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
struct Edge
{
long long u,v,w,nxt;
Edge(long long _u, long long _v, long long _w, long long _nxt){u = _u, v = _v, w = _w, nxt = _nxt;}
Edge(){}
}edge[4000000];
long long head[500010], cnt;
inline void insert(long long a, long long b, long long c)
{
edge[++ cnt] = Edge(a, b, c, head[a]), head[a] = cnt;
}
long long n, l, r, a[20], d[500010], vis[500010], mi, ans;
struct Node
{
long long v, w;
Node(long long _v, long long _w){v = _v, w = _w;}
};
struct cmp
{
bool operator()(Node a, Node b){return a.w > b.w;}
};
std::priority_queue<Node, std::vector<Node>, cmp> q;
void dij()
{
memset(d, 0x3f, sizeof(d)), d[1] = 0;
q.push(Node(1, 0));
while(q.size())
{
Node now = q.top();q.pop();
if(vis[now.v]) continue; vis[now.v] = 1;
for(long long pos = head[now.v];pos;pos = edge[pos].nxt)
{
long long v = edge[pos].v;
if(vis[v]) continue;
if(d[v] > d[now.v] + edge[pos].w)
d[v] = d[now.v] + edge[pos].w, q.push(Node(v, d[v]));
}
}
}
int main()
{
read(n), read(l), read(r), mi = INF;
for(long long i = 1;i <= n;++ i) read(a[i]), mi = a[i] ? min(mi, a[i]) : mi;
for(long long i = 1;i <= mi;++ i)
for(long long j = 1;j <= n;++ j)
{
if(a[j] == 0) continue;
insert(i, (i - 1 + a[j] + mi) % mi + 1, a[j]);
}
dij();
for(long long i = 1;i <= mi;++ i)
{
if(r >= d[i]) ans += (r - d[i]) / mi + 1;
if(l - 1>= d[i]) ans -= (l - 1 - d[i]) / mi + 1;
}
printf("%lld", ans);
return 0;
}