洛谷P1062 数列 [2017年6月计划 数论03]

P1062 数列

题目描述

给定一个正整数k(3≤k≤15),把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列，例如，当k=3时，这个序列是：

1，3，4，9，10，12，13，…

（该序列实际上就是：3^0，3^1，3^0+3^1，3^2，3^0+3^2，3^1+3^2，3^0+3^1+3^2，…）

请你求出这个序列的第N项的值（用10进制数表示）。

例如，对于k=3，N=100，正确答案应该是981。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只有1行，为2个正整数，用一个空格隔开：

k N （k、N的含义与上述的问题描述一致，且3≤k≤15，10≤N≤1000）。

输出格式：

输出文件为计算结果，是一个正整数（在所有的测试数据中，结果均不超过2.1*109）。（整数前不要有空格和其他符号）。

输入输出样例

输入样例#1：

  3 100

输出样例#1：

981

说明

NOIP 2006 普及组 第四题

不难发现，相加有一定的规律。

k^0  ,  k^1,  k^1 + k^0,  k^2, k^2 + k^0, k^2 + k^1, k^2 + k^ 1 + k^0, k^3..

1           10        11         100        101            110              111                     1000

只需证k^1 + k^2 + ... + k^n < k^(n + 1)，上述结论即可成立

只需证 （1 - k^n）/(1 - k) < k^n

只需证 k^n - 1 < k^(n + 1) - k^n

只需证2k^n  < k^(n + 1) + 1

只需证k^n < k^(n + 1)/2 + 1/2 ①

由于k >= 3 k^n < k^n * k/2   ①式显然成立

证毕

#include <bits/stdc++.h>
int k,n;
long long ans;
long long pow(int a,int b)
{
    if(b == 0)return 1;
    long long r = 1,base = a;
    while(b)
    {
        if(b & 1)r *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &k, &n);
    for(int i = 1;n;i ++)
    {
        if(n & 1 == 1)ans += pow(k, i - 1);
        n >>= 1;
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}