算法分析-动态规划-01背包

在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。

注意：在本题中，所有的体积值均为整数。01的意思是，每个物品都是一个整体，要么整个都要，要么都不要。

1）最优子结构

考虑所有物品的子集合，考虑第n个物品都有两种情况: 1. 包括在最优方案中 2. 不在最优方案中

因此，能获得的最大价值，即为以下两个值中较大的那个

1) 在剩下 n-1 个物品中(剩余 W 重量可用)的情况能得到的最大价值 (即排除了第n个物品)

2) 第n个物品的价值加上剩下剩下的 n-1 个物品(剩余W- wn的重量)能得到的最大价值。(即包含了第n个物品)

如果第n个物品的重量，超过了当前的剩余重量W，那么只能选情况1)，排除第n个物品。

2) 重叠子问题

下面是一个递归的实现，按照上面的最优子结构。

 1 /* 朴素的递归实现  0-1 背包 */
 2 #include<stdio.h>
 3 
 4 int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }
 5 
 6 // 返回  前n个物品在容量为W时，能得到的最大价值
 7 int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
 8 {
 9    // 没有物品了
10    if (n == 0 || W == 0)
11        return 0;
12 
13    // 如果当前第n个物品超重了，就排除在外
14    if (wt[n-1] > W)
15        return knapSack(W, wt, val, n-1);
16 
17    //返回两种情况下最大的那个 (1) 包括第n个物品 (2) 不包括第n个物品
18    else return max( val[n-1] + knapSack(W-wt[n-1], wt, val, n-1),
19                     knapSack(W, wt, val, n-1)
20                   );
21 }
22 
23 // 测试
24 int main()
25 {
26     int val[] = {60, 100, 120};
27     int wt[] = {10, 20, 30};
28     int  W = 50;
29     int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
30     printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));
31     return 0;
32 }

这种方法其实就是搜索了所有的情况，但是有很多重复的计算。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

在下面的递归树中 K() 代表 knapSack().  
输入数据如下：
wt[] = {1, 1, 1}, W = 2, val[] = {10, 20, 30}

                       K(3, 2)         ---------> K(n, W)
                   /             
                 /                               
            K(2,2)                  K(2,1)
          /                         /     
        /                         /        
       K(1,2)      K(1,1)        K(1,1)     K(1,0)
       /           /             /   
     /           /             /       
K(0,2)  K(0,1)  K(0,1)  K(0,0)  K(0,1)   K(0,0)

可见相同的子问题被计算多次。01背包满足动态规划算法的两个基本属性(重叠子问题和最优子结构)。可以通过自下而上的打表，存储中间结果，来避免重复计算。动态规划解法如下：

 1 #include<stdio.h>
 2 int max(int a, int b) { return (a > b)? a : b; }
 3 
 4 int knapSack(int W, int wt[], int val[], int n)
 5 {
 6    int i, w;
 7    int dp[n+1][W+1];
 8 
 9    for (i = 0; i <= n; i++)
10    {
11        for (w = 0; w <= W; w++)
12        {
13            if (i==0 || w==0)
14                dp[i][w] = 0;
15            else if (wt[i-1] <= w)
16                  dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]],  dp[i-1][w]);
17            else
18                  dp[i][w] = dp[i-1][w];
19        }
20    }
21    return dp[n][W];
22 }
23 
24 int main()
25 {
26     int val[] = {60, 100, 120};
27     int wt[] = {10, 20, 30};
28     int  W = 50;
29     int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
30     printf("%d", knapSack(W, wt, val, n));
31     return 0;
32 }

下面是思路的基本过程

问题的特点是：每种物品一件，可以选择放1或不放0。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，据说基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以详细的查了一下这个方程的含义：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

在有的地方看到的背包问题题目中，有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意

M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。