CF938G Shortest Path Queries（线性基+线段树分治）

CF938G Shortest Path Queries

出现了!融合怪！

做本题之前建议先做掉 最大XOR和路径 和 二分图 两题。

其实这题就是这两题融合一下

我们来讲解法。首先我们看到了这个 XOR 的最小值问题，可以借鉴最大XOR和路径这道题的思路。其次我们有删边，加边的操作，可以用线段树分治的思路。但是很显然，这中间还有很多有待思考的问题。比如，如何实现线性基撤销？怎样合并边，并维护线性基？我们来一一攻破。

线性基撤销

这个我是没怎么好好想过，反正我是对于每个线段树上的节点都建了一个线性基，每次下传即可。挺暴力的，但是空间可以卡过的。

边的合并

我们可以这样想。如果此时两个点不在一个连通块里，我们可以在这两条边之间加一条边。但是这个违反了并查集的规则。并查集只能将两个集合的根节点合并。我们就需要用到二分图中的一个思路。比如说，如下图：

（由于绘图不支持 \(\LaTeX\)，所以下划线就标在那里了，不是图炸了）

我们现在要在 \(2\) 和 \(6\) 之间添一条边，权值为 \(val_6\)。我们应该得到下图：

但是实际上我们不能这么做，我们的并查集只支持根节点合并。那么怎么办？我们令节点 \(i\) 到它所属的并查集的根的距离为 \(dis_i\)。那么若我们连接 \(u,v\) 两点，权值为 \(w\)，我们就相当于在这两个点分别所属的并查集的根节点连一条权值为 \(dis_u \operatorname{xor} dis_v \operatorname{xor} w\) 的边。比如对于我们举的例子，就是这个效果：

这为什么是对的呢？其实就是运用了 \(x\operatorname{xor} x=0\) 的性质。我们举几个例子，比如对于原图，\(3->6\) 的路径权值为 \(val_2\operatorname{xor}val_1\operatorname{xor} val_6\)。而现在是 \(val_2\operatorname{xor}\ (val_1\operatorname{xor}val_4\operatorname{val_6})\operatorname{val_4}\)。居然是一样的。

如果连的边两个端点本来就在一个连通块里，就把环扔到线性基里，和 WC 那题一样。

好了，然后就到了写代码时间。。。。

反正我写了 208 行，调了 4 天，结果发现数组开小了。。。

参考代码：

//Don't act like a loser.
//This code is written by huayucaiji
//You can only use the code for studying or finding mistakes
//Or,you'll be punished by Sakyamuni!!!
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pr pair<int,int>
using namespace std;

int read() {
	char ch=getchar();
	int f=1,x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9') {
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}

const int MAXN=2e5+10;

int n,m,q,cnt;
int father[MAXN],dis[MAXN],size[MAXN],lb[MAXN<<2][32];

struct ege {
	int u,v,w;
}e[MAXN<<1];

map<pr,int> mp,index;
set<int> s;
vector<ege> edge[MAXN<<2];
vector<pr > qry[MAXN<<2];
stack<pr > stk;

pr make_edge(int x,int y) {
	return make_pair(min(x,y),max(x,y));
}
void insert(int x,int p) {
	for(int i=30;i>=0;i--) {
		if(x&(1<<i)) {
			if(lb[p][i]) {
				x^=lb[p][i];
			}
			else {
				lb[p][i]=x;
				return ;
			}
		}
	}
}
int find(int x) {
	if(x!=father[x]) {
		return find(father[x]);
	}
	return x;
}
int findis(int x) {
	if(x!=father[x]) {
		return dis[x]^findis(father[x]);
	}
	return 0;
}
void merge(ege s,int p) {
	int x=find(s.u);
	int y=find(s.v);
	if(x==y) {
		insert(findis(s.u)^findis(s.v)^s.w,p);
		stk.push(make_pair(-1,-1));
		return ;
	}
	if(size[x]>size[y]) {
		swap(x,y);
	}
	dis[x]=findis(s.u)^findis(s.v)^s.w;
	father[x]=y;
	size[y]+=size[x];
	stk.push(make_pair(x,y));
}
void del() {
	int x=stk.top().first;
	int y=stk.top().second;
	stk.pop();
	if(x==-1) {
		return ;
	}
	father[x]=x;
	dis[x]=0;
	size[y]-=size[x];
}

void modify(int l,int r,int p,int x,int y,ege s) {
	if(x>y||r<x||y<l) {
		return ;
	}
	if(x<=l&&r<=y) {
		edge[p].push_back(s);
		return ;
	}
	
	int mid=(l+r)>>1;
	modify(l,mid,p<<1,x,y,s);
	modify(mid+1,r,p<<1|1,x,y,s);
}
void modqry(int l,int r,int p,int x,int y,pr s) {
	if(x>y||r<x||y<l) {
		return ;
	}
	if(x<=l&&r<=y) {
		qry[p].push_back(s);
		return ;
	}
	
	int mid=(l+r)>>1;
	modqry(l,mid,p<<1,x,y,s);
	modqry(mid+1,r,p<<1|1,x,y,s);
}

void query(int l,int r,int p) {
	int sz=edge[p].size();
	for(int i=0;i<sz;i++) {
		merge(edge[p][i],p);
	}
	if(l==r) {
		int qsz=qry[p].size();
		for(int i=0;i<qsz;i++) {
			int ans=0;
			if(find(qry[p][i].first)!=find(qry[p][i].second)) {
				printf("0\n");
				break;
			}
			ans=findis(qry[p][i].first)^findis(qry[p][i].second);
			for(int j=30;j>=0;j--) {
				ans=min(ans,ans^lb[p][j]);
			}
			printf("%lld\n",ans);
		}
	}
	else {
		int mid=(l+r)>>1;
		for(int i=0;i<=30;i++) {
			lb[p<<1][i]=lb[p][i];
			lb[p<<1|1][i]=lb[p][i];
		}
		query(l,mid,p<<1);
		query(mid+1,r,p<<1|1);
	} 
	while(sz--) {
		del();
	}
}

signed main() {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		father[i]=i;
		size[i]=1;
		dis[i]=0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		e[i].u=read();e[i].v=read();e[i].w=read();
		pr tmp=make_edge(e[i].u,e[i].v);
		s.insert(i);
		mp[tmp]=1;
		index[tmp]=i;
	}
	cnt=m;
	
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		int opt,u,v,w;
		opt=read();u=read();v=read();
		if(opt==1) {
			w=read(); 
			pr tmp=make_edge(u,v);
			e[++cnt].u=u;
			e[cnt].v=v;
			e[cnt].w=w;
			s.insert(cnt);
			mp[tmp]=i;
			index[tmp]=cnt;
		}
		if(opt==2) {
			pr tmp=make_edge(u,v);
			modify(1,q,1,mp[tmp],i-1,e[index[tmp]]);
			s.erase(s.find(index[tmp]));
			mp[tmp]=index[tmp]=0;
		}
		if(opt==3) {
			modqry(1,q,1,i,i,make_edge(u,v));
		}
	}
	
	for(set<int>::iterator it=s.begin();it!=s.end();it++) {
		modify(1,q,1,mp[make_edge(e[(*it)].u,e[*it].v)],q,e[*it]);
	}
	
	query(1,q,1);
	return 0;
}
/*
5 6
1 2 31
1 5 0
2 3 30
2 4 0
3 4 1
3 5 30
5
2 2 3
2 2 4
1 2 3 1
1 2 4 1
3 1 2


5 6
1 2 31
1 5 0
2 3 30
2 4 0
3 4 1
3 5 30
8
3 1 2
2 3 5
1 3 5 30
2 2 3
2 2 4
1 2 3 1
1 2 4 1
3 1 2
*/