邮票问题

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2725

http://www.joyoi.cn/problem/tyvj-1199

http://tyvj.cn/p/1199

题目限制

时间限制	内存限制	评测方式	题目来源
1000ms	131072KiB	标准比较器	Local

题目描述

给定一个信封，最多只允许粘贴N（N≤100）张邮票，我们现在有M（M≤100）种邮票，面值分别为：X1，X2……Xm（Xi≤255为正整数），并假设各种邮票都有足够多张。
要求计算所能获得的邮资最大范围。即求最大值MAX，使1-MAX之间的每一个邮资都能得到。
例如：N=4，有2种邮票，面值分别为1分，4分，于是可以得到1-10分和12分，13分，16分邮资，由于得不到11分和15分，所以邮资的最大范围max=10

输入格式

第一行为最多粘贴的邮票张数n。第二行为邮票种数m。以下m行各有一个数字表示邮票的面值。

本地测试的输入格式：

第一行：m,n的值，中间用一空格隔开。

第二行：A[1..m]（面额），每个数中间用一空格隔开。

输出格式

仅一个数，最大的max的值。

算法分析：

从面额1开始，建立递推关系方程。比如：面额1，2，4只用1张邮票行了，面额3可以表示为面额1，2的邮票和1+1=2张邮票，面额5有两种表示方式min(面额1+面额4，面额2+面额3)邮票数目……照此类推，递推关系方程不难建立，以下是递推的一种方法: 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    freopen("stamp_data/STAMP14.in","r",stdin);
    freopen("stamp_data/STAMP14.txt","w",stdout);
    int n,m,i,j,c[256]={0},a[31001]={0};
    int b1=1;

    scanf("%d%d",&m,&n);//local test
    //scanf("%d%d",&n,&m);//online judge
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        if(c[i]==1) b1=0;
    }

    if(b1==1) printf("0
");
    else
    {
        i=1; a[1]=1;//a[i]=x表示构造i这个值用x张邮票
        do
        {
            i++;
            for(j=1;j<=m;j++)
            {
                if( (i%c[j]==0)&&( (i/c[j]<a[i]) || (a[i]==0) ))
                    a[i]=i/c[j];  //判断它能否被题目给定面额整除
            }
            for(j=1;j<=i/2;j++)   //寻找 1<= j <=i使得a[j]+a[i-j]值最小
                if(a[j]+a[i-j]<a[i]) a[i]=a[j]+a[i-j];
        }while((a[i]<=n)&&(a[i]!=0));
        printf("%d
",i-1);
    }
    return 0;
}

这种递推方法原理是:对于某种要求得到的面额，判断它能否被题目给定面额整除，再寻找(1<=j<=i)，使A[j]+A[i-j]值最小，求出凑成某种面额最少邮票数。

这种递推方法虽然简单，由于1<=邮票面额<=255，1<=n<=100，因此MAX值最多可达到25500，25500次循环里必定还有嵌套循环，因此算法不加优化，很难在规定时间内得出最优值。这就需要递推的算法优化。

进一步优化

何不将用m种面额邮票作循环，建立递推关系式:A[i]=min(A[i-C[j]]+1)，于是当取到极限值时，程序减少了约1.6*10^8次循环，递推优化作用不言而喻。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    freopen("stamp_data/STAMP0.in","r",stdin);
    freopen("stamp_data/STAMP0.txt","w",stdout);
    int x[256]={0},pieces[30001]={0};
    int n,m,i;
    int maxX=0;
    scanf("%d%d",&m,&n);  //local test
    //scanf("%d%d",&n,&m);  //online judge
    for(i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d",&x[i]);
    do
    {
        maxX++;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            if(maxX-x[i]>=0)
            {
                if(pieces[maxX]==0) pieces[maxX]=pieces[maxX-x[i]]+1;
                if(pieces[maxX]>pieces[maxX-x[i]]+1) pieces[maxX]=pieces[maxX-x[i]]+1;
            }
        }
        if(pieces[maxX]==0 || pieces[maxX]>n)
        {
            printf("%d
",maxX-1);
            break;
        }
    }while(1);
    return 0;
}