自然数的拆分

题目链接  洛谷2404

【问题描述】自然数的拆分：任何一个大于1的自然数N，
总可以拆分成若干个自然数之和，并且有多种拆分方法。试求 n的所有拆分。
例如自然数5，可以有如下一些拆分方法：
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3

注意，本题中N拆分出来的数x的范围是1<=x<N。假如x可以等于N，那么本题和整数划分是一个道理。现在，这里与整数划分这个题的答案只少1，即N拆分成N本身的情况。

整数划分可以参考：

http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html

http://blog.csdn.net/sunquana/article/details/9245443

算法一  用回溯法来实现

针对所给问题，定义问题的解空间；如本题对5的拆分来说，1<=拆分的数<5。

确定用于搜索的解空间结构；如本题对5的拆分来说，用x[ ]数组来存储解，每个数组元素的取值范围都是1<=拆分的数<=5，从1开始搜索直到5。 

搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

如本题对5的拆分来说，为了避免重复，x[i] >= x[j]  ( i > j )，如x[]={2,3}满足条件而x[]={3,2}就不满足条件不是可行解即无效。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

void splitN(int n,int m);// n是需要拆分的数，m是拆分的进度。
int x[1024]={0},total=0 ;// total用于计数拆分的方法数，x[]用于存储解
void main()
{
    int n ;
    printf("please input the natural number n:");
    scanf("%d",&n);
    splitN(n,1);
    printf("There are %d ways to split natural number %d. ",total,n);
}

void splitN(int n,int m)
{//n是需要拆分的数，m是拆分的进度
    int rest,i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {//从1开始尝试拆分
        if(i>=x[m-1])
        {//拆分的数大于或等于前一个从而保证不重复
            x[m]=i ;// 将这个数计入结果中
            rest=n-i ;// 剩下的数是n-i，如果已经没有剩下的了，并且进度(总的拆分个数)大于1，说明已经得到一个结果了
            if(rest==0&&m>1)
            {
                total++;
                printf("%d	",total);
                for(j=1;j<m;j++)
                {
                    printf("%d+",x[j]);
                }
                printf("%d ",x[m]);
                printf("
");
            }
            else
            {
                splitN(rest,m+1);// 否则将剩下的数进行进度为m+1拆分
            }
            x[m]=0;// 取消本次结果，进行下一次拆分。环境恢复，即回溯
        }
    }
}

算法二  用递归来实现

用不完全归纳法
n =2 可拆分成 2 =1 +1
n =3 可拆分成 3 =1 +2 =1 +1 +1
n =4 可拆分成 4 =1 +3 =1 +1 +2 =1 +1 +1 +1 =2 +2
……
n =7 可拆分成 7=1 +6
=1 +1 +5
=1 +1 +1 +4
=1 +1 +1 +1 +3
=1 +1 +1 +1 +1 +2
=1 +1 +1 +1 +1
=1 +1 +1 +2 +2
=1 +1 +2 +3
=1 +2 +4
=1 +2 +2 +2
=1 +3 +3

=2 +5
=2 +2 +3

=3 +4

用数组 a 存储完成 n 的一种拆分。从上面不完全归纳法的分析 n =7 时，
按 a［1］分类，有a［1］=1，a［1］= 2，…，a［1］= n/2，共 n/2 大类拆分。
在每一类拆分时，a［1］= i ，a［2］= n - i ，从 k=2，从 a［k］开始继续拆分，
a［k］能否再拆分取决于 a［k］/2 是否大于等于 a［k-1］。
递归过程的参数 t 指向要拆分的数 a［k］

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int a[100]={0};
void Split(int t)
{
    int i,j,L;
    for(i = 1; i <t; i++)
    {
        printf("%d+",a[i]);
    }
    printf("%d
",a[i]);

    j = t;
    L = a[j];
    for(i = a[j-1]; i <= L/2; i++)
    {
        a[j] = i;
        a[j+1] = L - i;
        Split(j+1);
    }
}

void SplitNum(int n)
{
    int i;
    for(i = 1; i <= n/2; i++)
    {
        a[1] = i;
        a[2] = n - i;
        Split(2);
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    SplitNum(n);
    return 0;
}

参考：http://wenku.baidu.com/link?url=H7tDqvEmnds9SN4FfuwMw8M6AfAMUl44-vCR83Z4LKv9UN-HAU159GJtFR5M48t11XBJFMwP3i4qPk6u2WHEORZDeYhraBQt63zvaDUNSAi