经典算法题每日演练——第十三题 赫夫曼树

       赫夫曼树又称最优二叉树，也就是带权路径最短的树，对于赫夫曼树，我想大家对它是非常的熟悉，也知道它的应用场景，

但是有没有自己亲手写过，这个我就不清楚了，不管以前写没写，这一篇我们来玩一把。

一：概念

 赫夫曼树里面有几个概念，也是非常简单的，先来看下面的图：

1. 基础概念

<1>  节点的权： 节点中红色部分就是权，在实际应用中，我们用“字符”出现的次数作为权。

<2>  路径长度：可以理解成该节点到根节点的层数，比如：“A”到根节点的路径长度为3。

<3>  树的路径长度：各个叶子节点到根节点的路径长度总和，用WPL标记。

最后我们要讨论的的赫夫曼树也就是带权路径长度最小的一棵树。

2.构建

   由于要使WPL最短，赫夫曼树的构建采用自低向上的方式，这里我们采用小根堆来存放当前需要构建的各个节点，我们的方

式是每次从小根堆中取出最小的两个节点，合并后放入堆中，然后继续取两个最小的节点，一直到小根堆为空，最后我们采用

自底向上构建的赫夫曼树也就完毕了。

 

好了，赫夫曼树的典型应用就是在数据压缩方面，下面我们就要在赫夫曼树上面放入赫夫曼编码了，我们知道普通的ASCII码是

采用等长编码的，即每个字符都采用2个字节，而赫夫曼编码的思想就是采用不等长的思路，权重高的字符靠近根节点，权重低

的字符远离根节点，标记方式为左孩子“0”，右孩子“1”，如下图。

从图中我们可以看到各个字符的赫夫曼编码了，获取字符的编码采用从根往下的方式收集路径上的‘0,1'，如：

A:110。

B:111。

C:0。

D:10。

最后我们来比较他们的WPL的长度：  ASCII码=10*2+20*2+40*2+80*2=300

                                               赫夫曼码=10*3+20*3+40*2+80*1=250

可以看到，赫夫曼码压缩了50个0,1字符，太牛逼了，是不是啊。。。

三：代码

1. 树节点

    我们采用7元节点，其中parent方便我们在DFS的时候找到从叶子节点到根节点的路径上的赫夫曼编码。

 1 #region 赫夫曼节点
 2         /// <summary>
 3         /// 赫夫曼节点
 4         /// </summary>
 5         public class Node
 6         {
 7             /// <summary>
 8             /// 左孩子
 9             /// </summary>
10             public Node left;
11 
12             /// <summary>
13             /// 右孩子
14             /// </summary>
15             public Node right;
16 
17             /// <summary>
18             /// 父节点
19             /// </summary>
20             public Node parent;
21 
22             /// <summary>
23             /// 节点字符
24             /// </summary>
25             public char c;
26 
27             /// <summary>
28             /// 节点权重
29             /// </summary>
30             public int weight;
31 
32             //赫夫曼“0"or“1"
33             public char huffmancode;
34 
35             /// <summary>
36             /// 标记是否为叶子节点
37             /// </summary>
38             public bool isLeaf;
39         }
40         #endregion

1. 构建赫夫曼树（Build）

   上面也说了，构建赫夫曼编码树我们采用小根堆的形式构建，构建完后，我们采用DFS的方式统计各个字符的编码，复杂度为N*logN。

关于小根堆（详细内容可以参考我的系列文章 "优先队列"）

 1 #region 构建赫夫曼树
 2         /// <summary>
 3         /// 构建赫夫曼树
 4         /// </summary>
 5         public void Build()
 6         {
 7             //构建
 8             while (queue.Count() > 0)
 9             {
10                 //如果只有一个节点，则说明已经到根节点了
11                 if (queue.Count() == 1)
12                 {
13                     root = queue.Dequeue().t;
14 
15                     break;
16                 }
17 
18                 //节点1
19                 var node1 = queue.Dequeue();
20 
21                 //节点2
22                 var node2 = queue.Dequeue();
23 
24                 //标记左孩子
25                 node1.t.huffmancode = '0';
26 
27                 //标记为右孩子
28                 node2.t.huffmancode = '1';
29 
30                 //判断当前节点是否为叶子节点,hufuman无度为1点节点（方便计算huffman编码）
31                 if (node1.t.left == null)
32                     node1.t.isLeaf = true;
33 
34                 if (node2.t.left == null)
35                     node2.t.isLeaf = true;
36 
37                 //父节点
38                 root = new Node();
39 
40                 root.left = node1.t;
41 
42                 root.right = node2.t;
43 
44                 root.weight = node1.t.weight + node2.t.weight;
45 
46                 //当前节点为根节点
47                 node1.t.parent = node2.t.parent = root;
48 
49                 //将当前节点的父节点入队列
50                 queue.Eequeue(root, root.weight);
51             }
52 
53             //深度优先统计各个字符的编码
54             DFS(root);
55         }
56         #endregion

 2：编码(Encode,Decode)

  树构建起来后，我会用字典来保存字符和”赫夫曼编码“的对应表，然后拿着明文或者密文对着编码表翻译就行了， 复杂度O(N)。

 1         #region 赫夫曼编码
 2         /// <summary>
 3         /// 赫夫曼编码
 4         /// </summary>
 5         /// <returns></returns>
 6         public string Encode()
 7         {
 8             StringBuilder sb = new StringBuilder();
 9 
10             foreach (var item in word)
11             {
12                 sb.Append(huffmanEncode[item]);
13             }
14 
15             return sb.ToString();
16         }
17         #endregion
18 
19         #region 赫夫曼解码
20         /// <summary>
21         /// 赫夫曼解码
22         /// </summary>
23         /// <returns></returns>
24         public string Decode(string str)
25         {
26             StringBuilder decode = new StringBuilder();
27 
28             string temp = string.Empty;
29 
30             for (int i = 0; i < str.Length; i++)
31             {
32                 temp += str[i].ToString();
33 
34                 //如果包含 O(N)时间
35                 if (huffmanDecode.ContainsKey(temp))
36                 {
37                     decode.Append(huffmanDecode[temp]);
38 
39                     temp = string.Empty;
40                 }
41             }
42 
43             return decode.ToString();
44         }
45         #endregion

最后我们做个例子，压缩9M的文件，看看到底能压缩多少？

 1  public static void Main()
 2         {
 3             StringBuilder sb = new StringBuilder();
 4 
 5             for (int i = 0; i < 1 * 10000; i++)
 6             {
 7                 sb.Append("人民网北京12月8日电 （记者 宋心蕊） 北京时间8日晚的央视《新闻联播》节目出现了直播失误。上一条新闻尚未播放完毕时，播就将画面切换回了演播间，主播李梓萌开始播报下一条新闻，导致两条新闻出现了“混音”播出。央视新闻官方微博账号在21点09分发布了一条致歉微博：【致歉】今晚《新闻联播》因导播员口令失误，导致画面切换错误，特此向观众朋友表示歉意。央视特约评论员杨禹在个人微博中写道：今晚《新闻联播》出了个切换错误，@央视新闻 及时做了诚恳道歉。联播一直奉行“金标准”，压力源自全社会的高要求。其实报纸亦都有“勘误”一栏，坦诚纠错与道歉。《新闻联播》是中国影响力最大的电视新闻节目。它有不可替代的符号感，它有失误，更有悄然的进步。新的改进正在或即将发生，不妨期待");
 8             }
 9 
10             File.WriteAllText(Environment.CurrentDirectory + "//1.txt", sb.ToString());
11 
12             Huffman huffman = new Huffman(sb.ToString());
13 
14             Stopwatch watch = Stopwatch.StartNew();
15 
16             huffman.Build();
17 
18             watch.Stop();
19 
20             Console.WriteLine("构建赫夫曼树耗费:{0}", watch.ElapsedMilliseconds);
21 
22             //将8位二进制转化为ascII码
23             var s = huffman.Encode();
24 
25             var remain = s.Length % 8;
26 
27             List<char> list = new List<char>();
28 
29             var start = 0;
30 
31             for (int i = 8; i < s.Length; i = i + 8)
32             {
33                 list.Add((char)Convert.ToInt32(s.Substring(i - 8, 8), 2));
34 
35                 start = i;
36             }
37 
38             var result = new String(list.ToArray());
39 
40             //当字符编码不足8位时， 用‘艹'来标记，然后拿出’擦‘以后的所有0,1即可
41             result += "艹" + s.Substring(start);
42 
43             File.WriteAllText(Environment.CurrentDirectory + "//2.txt", result);
44 
45             Console.WriteLine("压缩完毕！");
46 
47             Console.Read();
48 
49             //解码
50             var str = File.ReadAllText(Environment.CurrentDirectory + "//2.txt");
51 
52             sb.Clear();
53 
54             for (int i = 0; i < str.Length; i++)
55             {
56                 int ua = (int)str[i];
57 
58                 //说明已经取完毕了  用'艹'来做标记
59                 if (ua == 33401)
60                     sb.Append(str.Substring(i));
61                 else
62                     sb.Append(Convert.ToString(ua, 2).PadLeft(8, '0'));
63             }
64 
65             var sss = huffman.Decode(sb.ToString());
66 
67             Console.Read();
68         }

看看，多帅气，将9M的文件压缩到了4M，同时我也打开了压缩后的秘文，相信这些东西是什么，你懂我懂的。

主程序：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Diagnostics;
using System.Threading;
using System.IO;

namespace ConsoleApplication2
{
    public class Program
    {
        public static void Main()
        {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();

            for (int i = 0; i < 1 * 10000; i++)
            {
                sb.Append("人民网北京12月8日电 （记者 宋心蕊） 北京时间8日晚的央视《新闻联播》节目出现了直播失误。上一条新闻尚未播放完毕时，播就将画面切换回了演播间，主播李梓萌开始播报下一条新闻，导致两条新闻出现了“混音”播出。央视新闻官方微博账号在21点09分发布了一条致歉微博：【致歉】今晚《新闻联播》因导播员口令失误，导致画面切换错误，特此向观众朋友表示歉意。央视特约评论员杨禹在个人微博中写道：今晚《新闻联播》出了个切换错误，@央视新闻 及时做了诚恳道歉。联播一直奉行“金标准”，压力源自全社会的高要求。其实报纸亦都有“勘误”一栏，坦诚纠错与道歉。《新闻联播》是中国影响力最大的电视新闻节目。它有不可替代的符号感，它有失误，更有悄然的进步。新的改进正在或即将发生，不妨期待");
            }

            File.WriteAllText(Environment.CurrentDirectory + "//1.txt", sb.ToString());

            Huffman huffman = new Huffman(sb.ToString());

            Stopwatch watch = Stopwatch.StartNew();

            huffman.Build();

            watch.Stop();

            Console.WriteLine("构建赫夫曼树耗费:{0}", watch.ElapsedMilliseconds);

            //将8位二进制转化为ascII码
            var s = huffman.Encode();

            var remain = s.Length % 8;

            List<char> list = new List<char>();

            var start = 0;

            for (int i = 8; i < s.Length; i = i + 8)
            {
                list.Add((char)Convert.ToInt32(s.Substring(i - 8, 8), 2));

                start = i;
            }

            var result = new String(list.ToArray());

            //当字符编码不足8位时， 用‘艹'来标记，然后拿出’擦‘以后的所有0,1即可
            result += "艹" + s.Substring(start);

            File.WriteAllText(Environment.CurrentDirectory + "//2.txt", result);

            Console.WriteLine("压缩完毕！");

            Console.Read();

            //解码
            var str = File.ReadAllText(Environment.CurrentDirectory + "//2.txt");

            sb.Clear();

            for (int i = 0; i < str.Length; i++)
            {
                int ua = (int)str[i];

                //说明已经取完毕了  用'艹'来做标记
                if (ua == 33401)
                    sb.Append(str.Substring(i));
                else
                    sb.Append(Convert.ToString(ua, 2).PadLeft(8, '0'));
            }

            var sss = huffman.Decode(sb.ToString());

            Console.Read();
        }
    }

    public class Huffman
    {
        #region 赫夫曼节点
        /// <summary>
        /// 赫夫曼节点
        /// </summary>
        public class Node
        {
            /// <summary>
            /// 左孩子
            /// </summary>
            public Node left;

            /// <summary>
            /// 右孩子
            /// </summary>
            public Node right;

            /// <summary>
            /// 父节点
            /// </summary>
            public Node parent;

            /// <summary>
            /// 节点字符
            /// </summary>
            public char c;

            /// <summary>
            /// 节点权重
            /// </summary>
            public int weight;

            //赫夫曼“0"or“1"
            public char huffmancode;

            /// <summary>
            /// 标记是否为叶子节点
            /// </summary>
            public bool isLeaf;
        }
        #endregion

        PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<Node>();

        /// <summary>
        /// 编码对应表（加速用）
        /// </summary>
        Dictionary<char, string> huffmanEncode = new Dictionary<char, string>();

        /// <summary>
        /// 解码对应表（加速用）
        /// </summary>
        Dictionary<string, char> huffmanDecode = new Dictionary<string, char>();

        /// <summary>
        /// 明文
        /// </summary>
        string word = string.Empty;

        public Node root = new Node();

        public Huffman(string str)
        {
            this.word = str;

            Dictionary<char, int> dic = new Dictionary<char, int>();

            foreach (var s in str)
            {
                if (dic.ContainsKey(s))
                    dic[s] += 1;
                else
                    dic[s] = 1;
            }

            foreach (var item in dic.Keys)
            {
                var node = new Node()
                {
                    c = item,
                    weight = dic[item]
                };

                //入队
                queue.Eequeue(node, dic[item]);
            }
        }

        #region 构建赫夫曼树
        /// <summary>
        /// 构建赫夫曼树
        /// </summary>
        public void Build()
        {
            //构建
            while (queue.Count() > 0)
            {
                //如果只有一个节点，则说明已经到根节点了
                if (queue.Count() == 1)
                {
                    root = queue.Dequeue().t;

                    break;
                }

                //节点1
                var node1 = queue.Dequeue();

                //节点2
                var node2 = queue.Dequeue();

                //标记左孩子
                node1.t.huffmancode = '0';

                //标记为右孩子
                node2.t.huffmancode = '1';

                //判断当前节点是否为叶子节点,hufuman无度为1点节点（方便计算huffman编码）
                if (node1.t.left == null)
                    node1.t.isLeaf = true;

                if (node2.t.left == null)
                    node2.t.isLeaf = true;

                //父节点
                root = new Node();

                root.left = node1.t;

                root.right = node2.t;

                root.weight = node1.t.weight + node2.t.weight;

                //当前节点为根节点
                node1.t.parent = node2.t.parent = root;

                //将当前节点的父节点入队列
                queue.Eequeue(root, root.weight);
            }

            //深度优先统计各个字符的编码
            DFS(root);
        }
        #endregion

        #region 赫夫曼编码
        /// <summary>
        /// 赫夫曼编码
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public string Encode()
        {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();

            foreach (var item in word)
            {
                sb.Append(huffmanEncode[item]);
            }

            return sb.ToString();
        }
        #endregion

        #region 赫夫曼解码
        /// <summary>
        /// 赫夫曼解码
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public string Decode(string str)
        {
            StringBuilder decode = new StringBuilder();

            string temp = string.Empty;

            for (int i = 0; i < str.Length; i++)
            {
                temp += str[i].ToString();

                //如果包含 O(N)时间
                if (huffmanDecode.ContainsKey(temp))
                {
                    decode.Append(huffmanDecode[temp]);

                    temp = string.Empty;
                }
            }

            return decode.ToString();
        }
        #endregion

        #region 深度优先遍历子节点，统计各个节点的赫夫曼编码
        /// <summary>
        /// 深度优先遍历子节点，统计各个节点的赫夫曼编码
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public void DFS(Node node)
        {
            if (node == null)
                return;

            //遍历左子树
            DFS(node.left);

            //遍历右子树
            DFS(node.right);

            //如果当前叶节点
            if (node.isLeaf)
            {
                string code = string.Empty;

                var temp = node;

                //回溯的找父亲节点的huffmancode LgN 的时间
                while (temp.parent != null)
                {
                    //注意，这里最后形成的 “反过来的编码”
                    code += temp.huffmancode;

                    temp = temp.parent;
                }

                var codetemp = new String(code.Reverse().ToArray());

                huffmanEncode.Add(node.c, codetemp);

                huffmanDecode.Add(codetemp, node.c);
            }
        }
        #endregion
    }
}

小根堆：

View Code

  1 using System;
  2 using System.Collections.Generic;
  3 using System.Linq;
  4 using System.Text;
  5 using System.Diagnostics;
  6 using System.Threading;
  7 using System.IO;
  8 
  9 namespace ConsoleApplication2
 10 {
 11     public class PriorityQueue<T> where T : class
 12     {
 13         /// <summary>
 14         /// 定义一个数组来存放节点
 15         /// </summary>
 16         private List<HeapNode> nodeList = new List<HeapNode>();
 17 
 18         #region 堆节点定义
 19         /// <summary>
 20         /// 堆节点定义
 21         /// </summary>
 22         public class HeapNode
 23         {
 24             /// <summary>
 25             /// 实体数据
 26             /// </summary>
 27             public T t { get; set; }
 28 
 29             /// <summary>
 30             /// 优先级别 1-10个级别 (优先级别递增)
 31             /// </summary>
 32             public int level { get; set; }
 33 
 34             public HeapNode(T t, int level)
 35             {
 36                 this.t = t;
 37                 this.level = level;
 38             }
 39 
 40             public HeapNode() { }
 41         }
 42         #endregion
 43 
 44         #region  添加操作
 45         /// <summary>
 46         /// 添加操作
 47         /// </summary>
 48         public void Eequeue(T t, int level = 1)
 49         {
 50             //将当前节点追加到堆尾
 51             nodeList.Add(new HeapNode(t, level));
 52 
 53             //如果只有一个节点，则不需要进行筛操作
 54             if (nodeList.Count == 1)
 55                 return;
 56 
 57             //获取最后一个非叶子节点
 58             int parent = nodeList.Count / 2 - 1;
 59 
 60             //堆调整
 61             UpHeapAdjust(nodeList, parent);
 62         }
 63         #endregion
 64 
 65         #region 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质
 66         /// <summary>
 67         /// 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质
 68         /// </summary>
 69         /// <param name="nodeList"></param>
 70         /// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们
 71         /// 的筛操作时针对非叶节点的）
 72         /// </param>
 73         public void UpHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent)
 74         {
 75             while (parent >= 0)
 76             {
 77                 //当前index节点的左孩子
 78                 var left = 2 * parent + 1;
 79 
 80                 //当前index节点的右孩子
 81                 var right = left + 1;
 82 
 83                 //parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较
 84                 //默认为left节点
 85                 var min = left;
 86 
 87                 //判断当前节点是否有右孩子
 88                 if (right < nodeList.Count)
 89                 {
 90                     //判断parent要比较的最大子节点
 91                     min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right;
 92                 }
 93 
 94                 //如果parent节点大于它的某个子节点的话，此时筛操作
 95                 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level)
 96                 {
 97                     //子节点和父节点进行交换操作
 98                     var temp = nodeList[parent];
 99                     nodeList[parent] = nodeList[min];
100                     nodeList[min] = temp;
101 
102                     //继续进行更上一层的过滤
103                     parent = (int)Math.Ceiling(parent / 2d) - 1;
104                 }
105                 else
106                 {
107                     break;
108                 }
109             }
110         }
111         #endregion
112 
113         #region 优先队列的出队操作
114         /// <summary>
115         /// 优先队列的出队操作
116         /// </summary>
117         /// <returns></returns>
118         public HeapNode Dequeue()
119         {
120             if (nodeList.Count == 0)
121                 return null;
122 
123             //出队列操作，弹出数据头元素
124             var pop = nodeList[0];
125 
126             //用尾元素填充头元素
127             nodeList[0] = nodeList[nodeList.Count - 1];
128 
129             //删除尾节点
130             nodeList.RemoveAt(nodeList.Count - 1);
131 
132             //然后从根节点下滤堆
133             DownHeapAdjust(nodeList, 0);
134 
135             return pop;
136         }
137         #endregion
138 
139         #region  对堆进行下滤操作，使得满足堆性质
140         /// <summary>
141         /// 对堆进行下滤操作，使得满足堆性质
142         /// </summary>
143         /// <param name="nodeList"></param>
144         /// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们
145         /// 的筛操作时针对非叶节点的）
146         /// </param>
147         public void DownHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent)
148         {
149             while (2 * parent + 1 < nodeList.Count)
150             {
151                 //当前index节点的左孩子
152                 var left = 2 * parent + 1;
153 
154                 //当前index节点的右孩子
155                 var right = left + 1;
156 
157                 //parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较
158                 //默认为left节点
159                 var min = left;
160 
161                 //判断当前节点是否有右孩子
162                 if (right < nodeList.Count)
163                 {
164                     //判断parent要比较的最大子节点
165                     min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right;
166                 }
167 
168                 //如果parent节点小于它的某个子节点的话，此时筛操作
169                 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level)
170                 {
171                     //子节点和父节点进行交换操作
172                     var temp = nodeList[parent];
173                     nodeList[parent] = nodeList[min];
174                     nodeList[min] = temp;
175 
176                     //继续进行更下一层的过滤
177                     parent = min;
178                 }
179                 else
180                 {
181                     break;
182                 }
183             }
184         }
185         #endregion
186 
187         #region 获取元素并下降到指定的level级别
188         /// <summary>
189         /// 获取元素并下降到指定的level级别
190         /// </summary>
191         /// <returns></returns>
192         public HeapNode GetAndDownPriority(int level)
193         {
194             if (nodeList.Count == 0)
195                 return null;
196 
197             //获取头元素
198             var pop = nodeList[0];
199 
200             //设置指定优先级（如果为 MinValue 则为 -- 操作）
201             nodeList[0].level = level == int.MinValue ? --nodeList[0].level : level;
202 
203             //下滤堆
204             DownHeapAdjust(nodeList, 0);
205 
206             return nodeList[0];
207         }
208         #endregion
209 
210         #region 获取元素并下降优先级
211         /// <summary>
212         /// 获取元素并下降优先级
213         /// </summary>
214         /// <returns></returns>
215         public HeapNode GetAndDownPriority()
216         {
217             //下降一个优先级
218             return GetAndDownPriority(int.MinValue);
219         }
220         #endregion
221 
222         #region 返回当前优先队列中的元素个数
223         /// <summary>
224         /// 返回当前优先队列中的元素个数
225         /// </summary>
226         /// <returns></returns>
227         public int Count()
228         {
229             return nodeList.Count;
230         }
231         #endregion
232     }
233 }