第 6 章 递归
6.1 递归应用场景
看个实际应用场景， 迷宫问题(回溯)， 递归(Recursion)
6.2 递归的概念
简单的说: 递归就是方法自己调用自己,每次调用时传入不同的变量.递归有助于编程者解决复杂的问题,同时可以让代码变得简洁。
6.3 递归调用机制
列举两个小案例，回顾一下递归调用机制
- 打印问题
- 阶乘问题
- 使用图解方式说明了递归的调用机制
打印问题
public class RecursionTest {
public static void main(String[] args) {
test(4);
//int res = factorial(3);
//System.out.println("res=" + res);
}
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
}
// ！！！当有 else 时，结果不同
//else {
System.out.println("n=" + n);
// }
}
}
-
没有 else 时，结果为
n=2 n=3 n=4 -
有 else 时，结果为
n=2
阶乘问题
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n; // 1 * 2 * 3
}
}
6.4 递归能解决什么样的问题
递归用于解决什么样的问题
- 各种数学问题如: 8 皇后问题 , 汉诺塔, 阶乘问题, 迷宫问题, 球和篮子的问题（google 编程大赛）
- 各种算法中也会使用到递归， 比如快排， 归并排序， 二分查找， 分治算法等
- 将用栈解决的问题 --> 递归代码比较简洁
6.5 递归需要遵守的重要规则
递归需要遵守的重要规则：
- 执行一个方法时， 就创建一个新的受保护的独立空间(栈空间)
- 方法的局部变量是独立的， 不会相互影响, 比如 n 变量
- 如果方法中使用的是引用类型变量(比如数组)， 就会共享该引用类型的数据.
- 递归必须向退出递归的条件逼近， 否则就是无限递归，出现 StackOverflowError
- 当一个方法执行完毕， 或者遇到 return， 就会返回， 遵守谁调用， 就将结果返回给谁， 同时当方法执行完毕或者返回时， 该方法也就执行完毕
6.6 递归-迷宫问题
6.6.1 迷宫问题
从 (1,1) 开始，小球走到右下角 (6,5)
6.6.2 代码实现
public class MyMiGong {
public static int count=0;
public static void main(String[] args) {
// 先创建一个二维数组，模拟迷宫
// 地图
int[][] map = initMap();
// 输出地图
System.out.println("地图的情况");
printMap(map);
//使用递归回溯给小球找路
setWay(map, 1, 1);
//输出新的地图, 小球走过，并标识过的递归
System.out.println("小球走过，并标识过的 地图的情况");
printMap(map);
System.out.println("调用 setWay 方法次数为："+count);
}
/**
* 使用递归回溯来给小球找路
* 说明
* 1. map 表示地图
* 2. i,j 表示从地图的哪个位置开始出发 (1,1)
* 3. 如果小球能到 map[6][5] 位置，则说明通路找到.
* 4. 约定： 当map[i][j] 为 0 表示该点没有走过 当为 1 表示墙 ； 2 表示通路可以走 ； 3 表示该点已经走过，但是走不通
* 5. 在走迷宫时，需要确定一个策略(方法) 下->右->上->左 , 如果该点走不通，再回溯
*
* @param map
* @param i
* @param j
* @return 如果找到通路，就返回true, 否则返回false
*/
private static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
count++;
if (map[6][5] == 2) {
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) {
// 如果当前这个点还没有走过
// 先假定该点是可以走通
map[i][j] = 2;
// 按照策略 下->右->上->左 走
if (setWay(map, i + 1, j)) {
return true;
} else if (setWay(map, i, j + 1)) {
return true;
} else if (setWay(map, i - 1, j)) {
return true;
} else if (setWay(map, i, j - 1)) {
return true;
} else {
//说明该点是走不通，是死路
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else {
// 如果map[i][j] != 0 , 可能是 1， 2， 3
return false;
}
}
}
private static int[][] initMap() {
int[][] map = new int[8][7];
// 使用1 表示墙
// 上下全部置为1
for (int i = 0; i < 7; i++) {
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
// 左右全部置为1
for (int i = 0; i < 8; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//设置挡板, 1 表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
// map[1][2] = 1;
// map[2][2] = 1;
return map;
}
private static void printMap(int[][] map) {
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++) {
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
6.6.3对迷宫问题的讨论
- 小球得到的路径， 和程序员设置的找路策略有关即： 找路的上下左右的顺序相关
- 再得到小球路径时， 可以先使用(下右上左)， 再改成(上右下左)， 看看路径是不是有变化
- 测试回溯现象
- 思考: 如何求出最短路径? 思路 --> 代码实现.
6.7 递归-八皇后问题(回溯算法)
6.7.1八皇后问题介绍
八皇后问题， 是一个古老而著名的问题， 是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯· 贝瑟尔于 1848 年提出： 在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后， 使其不能互相攻击， 即： 任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上， 问有多少种摆法 (92)。
6.7.2八皇后问题算法思路分析
- 第一个皇后先放第一行第一列
- 第二个皇后放在第二行第一列、 然后判断是否 OK， 如果不 OK， 继续放在第二列、 第三列、 依次把所有列都放完， 找到一个合适
- 继续第三个皇后， 还是第一列、 第二列……直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置， 算是找到了一个正确解
- 当得到一个正确解时， 在栈回退到上一个栈时， 就会开始回溯， 即将第一个皇后， 放到第一列的所有正确解，全部得到.
- 然后回头继续第一个皇后放第二列， 后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤
说明：
理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘， 但是实际上可以通过算法， 用一个一维数组即可解决问题.
arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
对应 arr 下标 表示第几行， 即第几个皇后， arr[i] = val , val 表示第 i+1 个皇后， 放在第 i+1 行的第 val+1 列
public class MyQueen8 {
//定义一个max表示共有多少个皇后
int max = 8;
//定义数组array, 保存皇后放置位置的结果,比如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0;
static int judgeCount = 0;
static int[] countArr = new int[8];
static int x = 0;
public static void main(String[] args) {
//测试一把 ， 8皇后是否正确
MyQueen8 queue8 = new MyQueen8();
queue8.check(0);
System.out.printf("一共有%d解法
", count);
System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次
", judgeCount); // 1.5w
System.out.println("当第一枚棋子在各个位置时的解法数：" + Arrays.toString(countArr));
}
//编写一个方法，放置第n个皇后
//特别注意： check 是 每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
private void check(int n) {
if (n == max) { //n = 8 , 其实8个皇后就既然放好
print();
return;
}
//依次放入皇后，并判断是否冲突
for (int i = 0; i < max; i++) {
//先把当前这个皇后 n , 放到该行的第1列
array[n] = i;
//判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
if (judge(n)) { // 不冲突
//接着放n+1个皇后,即开始递归
check(n + 1); //
}
//如果冲突，就继续执行 array[n] = i; 即将第n个皇后，放置在本行得 后移的一个位置
if (n == 0) {
if (x == 0) {
countArr[x] = count;
} else {
countArr[x] = count - calc(countArr, x);
}
x++;
}
}
}
private int calc(int[] arr, int n) {
if (n < 0) {
return 0;
} else {
return arr[n] + calc(arr, n - 1);
}
}
/**
* 查看当我们放置第n个皇后, 就去检测该皇后是否和前面已经摆放的皇后冲突
*
* @param n 表示第n个皇后
* @return
*/
private boolean judge(int n) {
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 说明
//1. array[i] == array[n] 表示判断 第n个皇后是否和前面的n-1个皇后在同一列
//2. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i]) 表示判断第n个皇后是否和第i皇后是否在同一斜线
// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
//3. 判断是否在同一行, 没有必要，n 每次都在递增
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
//写一个方法，可以将皇后摆放的位置输出
private void print() {
count++;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}