【素数判定——暴力到高效】

【素数判定——暴力到高效】
在平常做数论的题时，大部分都要涉及到判定（筛）素数吧，而今天我将给大家展示不同算法的判定（筛）素数方法.....例题：P3383 【模板】线性筛素数

直观判断法

　　这个比较暴力，直接从2枚举到N-1，再看能不能整除判断即可，也就是看这个数除了1和自己本身还有没有其他的因数
```
bool prime(int n);
{
    if(n==1)return false;
    if(n==2)return true;
    for(int i=2;i<n;i++)
        if(n%i==0)return false;
    return true;    
}
```
时间复杂度是O（N）

但是当N较大的时候，肯定会超时啊，所以我们需要一些优化

优化1

我们可以看出，因数总是成对出现的，而一对的两个数，都以sqrt（N）为分界线，一边一个（除了sqrt（N）自己），所以我们只需要从2枚举到sqrt（N）即可
```
1 bool prime(int n);
2 {
3     if(n==1)return false;
4     if(n==2)return true;
5     for(int i=2;i*i<=n;i++)
6         if(n%i==0)return false;
7     return true;    
8 }
```
　　时间复杂度是O（sqrt（N））

　　虽然已经很优了，但是直到我打开了洛谷题解。

　　我们来看看质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

　　证明：令

　　可以看到，不在6的倍数两侧，即

　　所以它们一定不是素数，再除去

　　所以，基于以上条件，我们假如要判定的数为

　　但是

　　但是

　　即循环的步长可以定为
```
 1 bool prime(int x)
 2 {
 3     if(n==1)return false;
 4     if(n==2||n==3)return true;
 5     if(n%6!=1&&n%6!=5)return false;
 6     for(int i=5;i*i<=x;i+=6)
 7     {
 8         if(n%i==0||n%(i+2)==0)return false;
 9     }
10     return true;
11 }
```
时间复杂度是O（sqrt（N）/3）

所以作为最基本的小白，这种判定还是要掌握的

Miller-Rabin

（思路来源自https://www.cnblogs.com/wjyyy/p/note1.html）

　　这个算法是由Miller和Rabin根据费马测试优化过来的（费马小定理的逆定理）
```
 a^(p-1)≡1(mod p)
```
都知道，只有p为质数才成立，然后很尴尬的341就出来了，虽然满足以2为底的费马小定理，但是.....341=11*31

然后，他俩闲着没事就......

二次探测定理

有一个叫二次探测定理的东西，可以有效地提升费马小定理的正确性。如果对于素数 $p$

Miller-Rabin

有了二次探测定理，我们试着进行341的以2为底的费马测试。 $2^{340} \equiv 1 (\mod 341)$

同时，因为费马小定理没有要求底为什么，所以只以2为底肯定会放过一些漏网之鱼，我们应该多选一些数为底，这样才能使判断的正确性提高。不过这个底最好选择素数（不知道为什么，可能与答案的模数大都为质数一样吧...），来保证正确性。同时，在学习这个算法时，网上会有一写神奇的结论，比如选3个特定的底 $2, 7, 61$
```
 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 long long POW(ll x,ll y,ll p)
 5 {
 6     ll ans=1;
 7     while(y)
 8     {
 9         if(y%2==1)ans*=x;
10         ans%=p;
11         x*=x;
12         x%=p;
13         y>>=1;
14     }
15     return ans;
16 }
17 bool check(ll x,ll y,ll p)
18 {
19     ll ans=POW(x,y,p);
20     if(ans!=1&&ans!=p-1)return false;
21     if(ans==p-1)return true;
22     if(ans==1&&y%2==1)return true;
23     return check(x,y>>1,p);
24 }
25 bool mr(ll x)
26 {
27     if(x<=1)return false;
28     if(x==2||x==7||x==61||check(2,x-1,x)&&check(7,x-1,x)&&check(61,x-1,x))
29         return true;
30     return false;
31 }
32 int main()
33 {
34     ll n,m;
35     cin>>n>>m;
36     for(int i=1;i<=m;i++)
37     {
38         scanf("%lld",&n);
39         if(mr(n))cout<<"Yes"<<endl;
40         else cout<<"No"<<endl;
41     }
42     return 0;
43 }
```
埃氏筛

思想

任意整数x的倍数都不是素数

我们可以从小到大枚举n以内的质数，对不超过n的倍数进行标记剩下未标记的数即为质数。
```
1 for(int i=2;i<=b;i++)
2 {
3     if(a[i]==0)
4         for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
5             a[j]=1;
6 }
```
但是一个数可能被多个质数重复标记，所以我们从i*i开始枚举
```
1 for(int i=2;i<=b;i++)
2 {
3     if(a[i]==0)
4         for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
5             a[j]=1;
6 }
```
时间复杂度为O(N*loglogn),效率已经接近线性

欧拉筛（真线性筛）
```
 1 for(int i=2;i<=n;i++)
 2     {
 3         if(flag[i]==0)
 4         {
 5             len++;
 6             prime[len]=i;
 7         }
 8         for(int j=1;j<=len&&i*prime[j]<=n;j++)
 9         {
10             flag[i*prime[j]]=1;
11             if(i%prime[j]==0)break;
12         }
13     }
```
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hualian/p/11236483.html

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Miller-Rabin

埃氏筛

思想

欧拉筛（真 线性筛）

欧拉筛（真线性筛）