BZOJ4883: [Lydsy1705月赛]棋盘上的守卫（最小环套树森林&优化定向问题）

4883: [Lydsy1705月赛]棋盘上的守卫

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Description

在一个n*m的棋盘上要放置若干个守卫。对于n行来说，每行必须恰好放置一个横向守卫；同理对于m列来说，每列

必须恰好放置一个纵向守卫。每个位置放置守卫的代价是不一样的，且每个位置最多只能放置一个守卫，一个守卫

不能同时兼顾行列的防御。请计算控制整个棋盘的最小代价。

Input

第一行包含两个正整数n,m(2<=n,m<=100000,n*m<=100000)，分别表示棋盘的行数与列数。

接下来n行，每行m个正整数

其中第i行第j列的数w[i][j](1<=w[i][j]<=10^9)表示在第i行第j列放置守卫的代价。

Output

输出一行一个整数，即占领棋盘的最小代价。

Sample Input

3 4
1 3 10 8
2 1 9 2
6 7 4 6

Sample Output

19

HINT
在(1,1),(2,2),(3,1)放置横向守卫，在(2,1),(1,2),(3,3),(2,4)放置纵向守卫。

思路：一眼看出最小费用流，zkw跑几发T了，然后学习了下正解：环套树森林。

我们把行到列加无向边，然后得到最小环套树森林就ok了。（N+M个点，N+M个环，说明有一个环。）

得到这个环套树森林后，我们来定向，即这个无向边指向行还是列。我们假设指向的方向代表守卫的方向。假设多条边有公共顶点，他们中最多一个点指向这个公共顶点。  那么如果我们知道了一个连通块的一个指向，那么连通块的其他所有边指向都可以推出，而且这里二分图，所以环是偶环，不会出现矛盾。  这也是为什么可以这么做，即得到是环套树森林一定能得到合理方案。

Kruscal求最小环套树森林：按照常规的Kruscal来做，只是多了一个tag标记，表示它是否有环，合并之前保证最多一个环。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=100010;
int fa[maxn],tag[maxn],tot; ll ans;
struct in{
    int x,y,len;
    in(){}
    in(int xx,int yy,int LL):x(xx),y(yy),len(LL){}
    bool friend operator <(in w,in v){return w.len<v.len; }
}s[maxn];
int find(int x){
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
    int N,M,x; scanf("%d%d",&N,&M);
    rep(i,1,N)
      rep(j,1,M){
         scanf("%d",&x);
         s[++tot]=in(i,N+j,x);
    }
    sort(s+1,s+tot+1);
    rep(i,1,N+M) fa[i]=i;
    rep(i,1,tot){
        int a=find(s[i].x),b=find(s[i].y);
        if(tag[a]&&tag[b]) continue;
        if(a==b) tag[a]=1;
        else fa[b]=a,tag[a]|=tag[b];
        ans+=s[i].len;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}