线段树是信息学奥赛中常用到的一种数据结构。它的功能和树状数组类似，但是在一定程度上要比树状数组更强大，但是相对来说也存在着代码实现较麻烦，空间复杂度较高，但是这些缺点并不影响它成为一种强大的实用的数据结构。
线段树主要支持的功能为：查询区间和，查询区间最值，单点修改以及区间修改。
本文将主要讲解线段树是如何实现这些功能的。它的原理主要是凭借二分区间，因为对于一组排序好的数，通过二分法查询，可以在㏒₂（n）次查询中得到，而如果我们顺序查询的话，平均需要n次查询，显然，这样的效率是非常差的。所以线段树的使用是十分有必要的。
而线段树实际上是一棵二叉树，每个节点都代表了一组数中的一段值。因此我们可以通过一个图表来理解（来源：百度）：
由图可知对于区间[1,10],根节点就是[1,10],然后将10二分为它的儿子，建立[1,5],[6,10]的两个区间，同理一直进行同样的操作，直到每个节点变成一个点（我们将它成为叶子节点），即像[1,1][2,2][3,3]这样的节点。
通过这个图我们可以清晰的发现，对于每棵线段树都可以分成两个小的线段树，直到叶子节点。那么建立一棵线段树的方式就很清晰明了了。我们建立一个build过程，build（x，y，z），因为对于线段树我们通常使用数组实现，那么结合下图：
1
/
2 3
/ /
4 5 6 7
/ /
8 9 (10)(11)
对于这个图我们很容易发现，如果给一棵二叉树编号，那么一个根节点的左儿子的编号，是该点编号的2倍，右儿子是2倍+1；
因此我们可以用build（x，y，z）里的x代表以x点为根建立一棵线段树（上文提到过一棵线段树能分成很多个小的线段树），区间为[y,z]，因此，build（x，y，z）后再build(x*2,y,(y+z)/2)和build(x*2+1, (y+z)/2+1,z)然后直到y=z，那么就代表已经建立到了一个叶子节点，然后将这个点赋值为单点的值，然后向上更新每个点的值即可。
这样就可以建立一个线段树模型了。
而对于线段树的操作主要有，更新（add），查询区间和（query），查询最值（MAX，MIN）。
而对于更新操作（add）主要分为单点更新和区间更新。首先我们先进行单点更新。因此我们需要找到这个点，我们可以顺序寻找这个线段树的每个节点，但是仔细想一想，这样是非常不划算的，因为每一个单点所对应的点，一定是在整个线段树的最下面，如果顺序寻找，那么花费的时间将会是巨大的。但是我们结合线段树的性质来看，就会发现，举个栗子:如果在[1,10]中要修改第二个点的值，那么这个点一定在[1,5]的区间中，而又在[1,3]中，那么这样就变成了，在一段区间中，如果要修改的值小于这个区间的中点，那么就找它的左儿子，反之，则寻找它的右儿子。因此这样只需要㏒₂（n）次查询就可以得到，这无疑是非常划算的，而在修改之后要记住回溯修改他的父亲节点。
而如果是区间修改，我们可以采用同样的方法，寻找包含修改区间的区间，举个栗子对于[1,10]如果我们修改[3,8]的值，我们会发现只有[1,10]完全包含它，而剩下的两个区间[1,5][6,10]都不完全包含这个区间，别虚！我们只需要将这个区间一分为二成[3,5][6,8]两个区间不就好了？因此，我们这样就可以对区间进行修改了。
但是我们会发现一个问题，对于区间修改，如果这个区间被修改了，那么显然它包含的每个小区间都应该被修改。而当修改的区间较大时，需要修改的区间显然是十分多的，显然这样是十分不划算的，因为很少有问题会锲而不舍的将每一个区间都询问到，它只会询问每个区间包含的一两个小区间，显然，这样一对比，是非常不划算的。
因此这个时候我们需要引入lazy思想，简单来说就是拖延症，如果对于一个区间进行修改，这个时候按理说我们要修改每个小区间，但是，这个时候我们的线段树是一个重度拖延症患者，它给这个区间打一个lazy标记，表示这里有任务没有完成，但是它不做，只有当询问到这个标记一下的区间时，它才会向下更新，但是并不是全部更新，对于一个拖延症来说，中心思想就是能拖则拖，我们只需要更新到询问的节点就好了，再在这里打一个lazy标记，然后剩下的就再次拖着。事实证明，就如老师一般不会检查所有的作业一样，大部分修改是没有用的，你拖到问题结束也没有询问，因此你就剩下了大把大把的时间。因此lazy思想对线段树的优化是简单而行之有效的。
而对于查询最值就更加简单了，我们只需在更新每个节点时记录当前区间的最大值就好了，注意！单点修改和区间修改都可以对其造成影响。因此要注意更新区间和的同时更新最值。
而最后的查询就更为简单了，他的方法实际上是和修改一样的，只是把修改的操作变成了查询，同时应当注意的是在查询的时候要注意，如果有lazy标记就先更新，再查询。
字数还有点不够，那我就稍微的水下字数。
拓展：
1.对于一组数，求每个数前的第一个比它大的数，除了用单调栈以外显然还可以用线段树来求区间最值。
2.对于区间更新，我们除了进行加减，还有乘法运算时应该怎么办，很简单，打两个lazy标记，一个表示加减，一个表示乘除，加减操作直接加减对应的lazy标记，而有乘法时应当先对加减的lazy标记进行乘法运算，再乘乘法的lazy标记，然后在更新他的儿子的时候先进行乘法运算，再进行加减，这样就可以完成了。
说了这么多，一棵线段树的基本功能就讲完了。