• P1680 奇怪的分组


    题目背景

    终于解出了dm同学的难题,dm同学同意帮v神联络。可dm同学有个习惯,就是联络同学的时候喜欢分组联络,而且分组的方式也很特别,要求第i组的的人数必须大于他指定的个数ci。在dm同学联络的时候,v神在想,按照dm同学的规则一共可以有多少种方案呢?他想啊想,终于……没想出来。于是他又想到了聪明的你,你能帮v神算出按照dm同学的规则有多少种分组方案吗?

    题目描述

    v神的班级共有n个人,dm同学想把同学分成M组联络,要求第i组的人数必须大于给定的正整数Ci,求有多少不同的方案?(两个是相同的方案当且仅当对于任意的一队i,两个方案的第i组同学数量相等)由于结果很大,所以你只需要输出模1000000007的值。

    输入格式

    第一行两个整数N和M ,后面有M行,每行一个整数,表示Ci

    输出格式

    仅有一行,一个整数,方案数模1000000007的值。

    输入输出样例

    输入 #1
    10 3
    1
    2
    3
    
    输出 #1
    3

    说明/提示

    样例解释:

    方案有三种,每组的个数分别是(3,3,4),(2,4,4),(2,3,5)。

    数据范围约定:

    对于30%的数据,N ,M<= 10

    对于60%的数据,N ,M<=1000

    对于100%的数据,N ,M<= 1000000 Ci<=1000

    数据保证至少有一个方案

    Lucas定理可以直接求 C(n, m)C(n,mmodmopp

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    
    #define MOD 1000000007
    typedef long long LL;
    
    inline int Read(){
        int s=0,w=1;
        char ch=getchar();
        while(ch<'0'||ch>'9'){
            if(ch=='-'){
                w=-1;
            }
            ch=getchar();
        }
        while(ch>='0'&&ch<='9'){
            s=s*10+ch-'0';
            ch=getchar();
        }
        return s*w;
    }
    
    int n, m;
    
    LL Qpow(LL a, LL b, LL p) {
        LL ans = 1;
        for(; b; b>>=1, (a*=a) %= p)
            if(b & 1) (ans *= a) %= p;
        return ans;
    }
    
    LL c(LL n, LL m, LL p) {
        if(n < m) return 0;
        if(m > n - m) m = n - m;
        LL s1 = 1, s2 = 1;
        for(int i=0; i<m; i++) {
            s1 = s1 * (n - i) % p;
            s2 = s2 * (i + 1) % p;
        }
        return s1 * Qpow(s2, p-2, p) % p;
    }
    
    LL Lucas(LL n, LL m, LL p) {
        if(m == 0) return 1;
        return c(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
    }
    
    int main() {
        n = Read(), m = Read();
        for(int i=1; i<=m; i++) n -= Read();
        printf("%d
    ", Lucas(n-1, m-1, MOD));
        return 0;
    }
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