浅析__线段树延迟标记

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区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，由于涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其对应的非叶父节点，那么回溯须要更新的非叶子节点也会有非常多，假设一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，比如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，须要更新除了叶子节点3,9外的全部其它节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。

延迟标记：每一个节点新添加�一个标记，记录这个节点是否进行了某种改动(这样的改动操作会影响其子节点)，对于随意区间的改动，我们先依照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后改动这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这样的改动操作的标记。在改动和查询的时候，假设我们到了一个节点p，而且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，假设有，就要依照标记改动其子节点的信息，而且给子节点都标上同样的标记，同一时候消掉节点p的标记。

因此须要在线段树结构中添�延迟标记域，本文样例中我们添�标记与add，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上add的值，同一时候还须要改动创建函数build()和 查询函数 query()，当中区间更新的函数为update;

代码例如以下:

void PushUp(int rt) //把当前结点的信息更新到父结点
{
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void PushDown(int rt,int len)//把当前结点的信息更新给儿子结点,len为分区间长度
 {//对某一个区间进行改变，假设被标记了，在查询的时候就得把改变传给子节点，由于查询的并不一定是当前区间  
	if (add[rt])//已经标记过，该区间被改变过 
	{
		//由于rt的儿子节点可能被多次延迟标记，而且rt的儿子节点的延迟标记没有向rt的孙子节点移动，所以用“+=” 
		add[rt<<1] += add[rt];
		add[rt<<1|1] += add[rt];
		/*此处用add[rt]乘以区间长度，不是add[rt<<1], 由于rt的儿子节点假设被

多次标记，之前被标记时， 就已经对sum[rt<<1]更新过了。 */
		sum[rt<<1] += add[rt] * (len - (len >> 1));//更新左儿子的和
		sum[rt<<1|1] += add[rt] * (len >> 1);//更新右儿子的和
		add[rt] = 0;//将标记向儿子节点移动后，父节点的延迟标记去掉 ，传递后，当前节点标记域清空
	}
}
void build(int l,int r,int rt)
 {
	add[rt] = 0;//初始化为全部结点未被标记
	if (l == r)
	{
		scanf("%lld",&sum[rt]);
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	PushUp(rt);
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt)
{
	if (L <= l && r <= R)
	{
		add[rt] += c;
		sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);//更新代表某个区间的节点和，该节点不一定是叶子节点
		return ;
	}
	/*当要对被延迟标记过的这段区间的儿子节点进行更新时，先要将延迟标记向儿子节

点移动 当然，假设一直没有对该段的儿子节点更新，延迟标记就不须要向儿子节点移动，这样就

使更新操作的时间复杂度仍为O（logn），也是使用延迟标记的原因。 */  
	PushDown(rt , r - l + 1);//----延迟标志域向下传递
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (L <= mid)
		update(L , R , c , lson);//更新左儿子
	if (mid < R) 
		update(L , R , c , rson);//更新右儿子
	PushUp(rt);//向上传递更新和
}
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt)
 {
	if (L <= l && r <= R)
	{
		return sum[rt];
	}//要取rt子节点的值时，也要先把rt的延迟标记向下移动
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int mid = (l + r) >> 1;
	LL ret = 0;
	if (L <= mid) 
		ret += query(L , R , lson);
	if (mid < R)
		ret += query(L , R , rson);
	return ret;
}

区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点添加�2，利用区间查询的方法从根节点開始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，而且把它的延迟标记设置为2，更新完成；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，而且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（事实上叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（添加�3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；

事实上当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新仅仅是区间更新的特例。