本文简明讲述GMM-HMM在语音识别上的原理，建模和測试过程。这篇blog仅仅回答三个问题：
1. 什么是Hidden Markov Model？
HMM要解决的三个问题:
1) Likelihood
2) Decoding
3) Training
2. GMM是神马？如何用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
3. GMM+HMM大法解决语音识别
3.1 识别
3.2 训练
3.2.1 Training the params of GMM
3.2.2 Training the params of HMM
首先声明我是做视觉的不是做语音的，迫于**须要24小时速成语音。上网查GMM-HMM资料中文差点儿为零，英文也大多是paper。苦苦追寻最终貌似搞懂了GMM-HMM，感谢语音组老夏（http://weibo.com/ibillxia）提供资料给予指导。本文结合最简明的概括还有自己一些理解应运而生，如有错误望批评指正。
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1. 什么是Hidden Markov Model？
ANS：一个有隐节点（unobservable）和可见节点（visible）的马尔科夫过程（见具体解释）。
隐节点表示状态，可见节点表示我们听到的语音或者看到的时序信号。
最開始时，我们指定这个HMM的结构，训练HMM模型时：给定n个时序信号y1...yT（训练样本）, 用MLE（typically implemented in EM） 预计參数：
1. N个状态的初始概率
2. 状态转移概率a
3. 输出概率b
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- 在语音处理中，一个word由若干phoneme（音素）组成；
- 每一个HMM相应于一个word或者音素（phoneme）
- 一个word表示成若干states，每一个state表示为一个音素
用HMM须要解决3个问题：
1）. Likelihood: 一个HMM生成一串observation序列x的概率< the Forward algorithm>
当中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率
aij是状态i到状态j的转移概率，
bj（xt）表示在状态j的时候生成xt的概率，
2）. Decoding: 给定一串observation序列x，找出最可能从属的HMM状态序列< the Viterbi algorithm>
在实际计算中会做剪枝，不是计算每一个可能state序列的probability，而是用Viterbi approximation：
从时刻1：t，仅仅记录转移概率最大的state和概率。
记Vt(si)为从时刻t-1的全部状态转移到时刻t时状态为j的最大概率：
记
进行Viterbi approximation步骤例如以下：
然后依据记录的最可能转移状态序列
3）. Training: 给定一个observation序列x，训练出HMM參数λ = {aij, bij} the EM (Forward-Backward) algorithm
这部分我们放到“3. GMM+HMM大法解决语音识别”中和GMM的training一起讲
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2. GMM是神马？如何用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
2.1 简单理解混合高斯模型就是几个高斯的叠加。。。e.g. k=3
fig2. GMM illustration and the probability of x
2.2 GMM for state sequence
每一个state有一个GMM，包括k个高斯模型參数。如”hi“（k=3）：
PS：sil表示silence（静音）
fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1, o2, o3}
当中，每一个GMM有一些參数，就是我们要train的输出概率參数
fig4. parameters of a GMM
怎么求呢？和KMeans相似，如果已知每一个点x^n属于某每类 j 的概率p(j|x^n)，则能够预计其參数:
仅仅要已知了这些參数，我们就能够在predict（识别）时在给定input sequence的情况下，计算出一串状态转移的概率。如上图要计算的state sequence 1->2->2概率：
fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3
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3. GMM+HMM大法解决语音识别
<!--识别-->
我们获得observation是语音waveform, 以下是一个词识别全过程：
1). 将waveform切成等长frames，对每一个frame提取特征（e.g. MFCC）,
2).对每一个frame的特征跑GMM，得到每一个frame(o_i)属于每一个状态的概率b_state(o_i)
fig6. complete process from speech frames to a state sequence
3). 依据每一个单词的HMM状态转移概率a计算每一个状态sequence生成该frame的概率; 哪个词的HMM 序列跑出来概率最大，就推断这段语音属于该词
宏观图：
fig7. Speech recognition, a big framework
(from Encyclopedia of Information Systems, 2002)
<!--训练-->
好了，上面说了怎么做识别。那么我们如何训练这个模型以得到每一个GMM的參数和HMM的转移概率什么的呢？
①Training the params of GMM
GMM參数：高斯分布參数：
从上面fig4以下的公式我们已经能够看出来想求參数必须要知道P(j|x),即，x属于第j个高斯的概率。怎么求捏？
fig8. bayesian formula of P( j | x )
依据上图 P（j | x）, 我们须要求P(x|j)和P（j）去预计P(j|x).
这里因为P(x|j)和P（j）都不知道，须要用EM算法迭代预计以最大化P(x) = P(x1)*p(x2)*...*P(xn)：
A. 初始化（能够用kmeans）得到P(j)
B. 迭代
E（estimate）-step: 依据当前參数 (means, variances, mixing parameters)预计P(j|x)
M（maximization）-step: 依据当前P(j|x) 计算GMM參数（依据fig4 以下的公式：）
②Training the params of HMM
前面已经有了GMM的training过程。在这一步，我们的目标是：从observation序列中预计HMM參数λ；
如果状态->observation服从单核高斯概率分布：
HMM训练过程：迭代
E（estimate）-step: 给定observation序列，预计时刻t处于状态sj的概率
M（maximization）-step: 依据
当中，
E-step: 给定observation序列，预计时刻t处于状态sj的概率
为了预计
这个能够递归计算：β_t（si）=从状态 si 转移到其它状态 sj 的概率aij * 状态 i 下观測到x_{t+1}的概率bi(x_{t+1}) * t时刻处于状态sj的话{t+1}后observation概率β_{t+1}（sj）
即：
定义刚才的
因为分子p(A,B|C)为
当中，αt（sj）表示HMM在时刻t处于状态j，且observation = {x1,...,xt}的概率
且
finally, 带入
好，最终搞定！相应上面的E-step目标，仅仅要给定了observation和当前HMM參数 λ，我们就能够预计
M-step：依据
对于λ中高斯參数部分，和GMM的M-step是一样一样的（仅仅只是这里写成向量形式）：
对于λ中的状态转移概率aij, 定义C(Si->Sj)为从状态Si转到Sj的次数，有
实际计算时，定义每一时刻的转移概率
那么就有：
把HMM的EM迭代过程和要求的參数写专业点，就是这种：
PS：这个训练HMM的算法叫 Forward-Backward algorithm。
一个非常好的reference：点击打开链接
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