方程的求解

方程的求解

一、非线性方程的求解

1、牛顿迭代法。牛顿迭代法的思想是根据函数f(x)的泰勒基数的前几项来寻找方程的根。牛顿迭代法具有平方收敛的速度。

f(x)=f(x₀)+f^'(x₀)(x-x₀)+...(泰勒公式展开式）

根据泰勒公式展开式的前两项有：

f(x)=f(x₀)+f^'(x₀)(x-x₀)=0

如果f^'(x₀)不等于0则：

x₁=x₀-(f(x₀)/f^'(x₀))

这样通过x₀得到了x₁,然后根据x₁进行下一次相似的计算，这样就得到牛顿法的一个迭代序列公式：

x_n+1=x_n-(f(x_n)/f^'(x_n))

具体代码如下：

/*
 * @author
 * 非线性方程的表达式
 */
double function(double x) {
    return x * x * x * x - 3 * x * x * x + 1.5 * x * x - 4;
}

/*
 * @author
 * 非线性方程的导函数
 */
double dFunction(double x) {
    return 4 * x * x * x - 9 * x * x + 3 * x;
}

/*
 * @author
 * 牛顿迭代算法
 * precision为算法的精度，maxGen为最大迭代次数,x为一个地址变量,
 * 算法刚开始赋值给x是一个初始值，并不是最终的结果，故利用地址变量，方便
 * 将最后的结果赋值给x
 */
int newtonMethod(double *x, double precision, int maxGen) {
    double temp, t;
    int i = 1;
    temp = *x;
    if (dFunction(temp) == 0.0) {
        printf("Error! The derivative is zero
");
        return 0;
    }
    while (i <= maxGen) {
        t = temp - (function(temp) / dFunction(temp));
        if ((fabs(t - temp) < precision)
                || (fabs(function(temp)) < precision)) {
            *x = t;
            return 1;
        } else {
            temp = t;
        }
        i++;
    }
    printf("the number of iteration over maxGen!
");
    return 0;
}

2、二分法

二分法的思想：如果函数f(x)，在x=c时，f(c)=0,那么把x=c称为函数f(x)的零点。对于二分法，假定非线性方程f(x)在区间（x,y)上连续，如果存在两个实数a,b属于区间（x,y),使得满足如下式子：

f(a)*f(b)<0

也就是说f(a)，f(b)异号，这说明在区间（a,b)内一定有零点，可以根据f((a+b)/2)来判断方程解的位置，具体代码如下：

double function(double x) {
    return 2 * x * x * x - 5 * x - 1;
}
/*
 * @author
 * 这里将negative 表示函数值小于零的自变量，positive表示函数值大于0的自变量
 */
int dichotomy(double *x, double negative, double positive, double precision) {
    double mid, temp;
    if (function(negative) > 0)
        positive = negative;
    if (function(positive) < 0)
        negative = positive;
    mid = (positive + negative) / 2;
    temp = function(mid);
    if (temp > 0) {
        positive = mid;
    } else {
        negative = mid;
    }
    if (fabs(negative - positive) > precision) {
        dichotomy(x, negative, positive, precision);
    } else {
        *x = temp;
        printf("The result of x is %0.5f
", mid);
    }
    return 0;
}
/*
 * 另一种二分法的表示方法
 */
double erfen(double a, double b, double precision) {
    double c;
    c = (a + b) / 2.0;
    while ((fabs(function(c)) > precision) && (function(a - b) > precision)) {
        if (function(c) * function(b) < 0) {
            a = c;
        }
        if (function(c) * function(a) < 0) {
            b = c;
        }
        c = (a + b) / 2.0;
    }
    return c;
}