「学习笔记」高数入门知识

高等数学全世界都会只有我0基础，看来得稍微了解一下。

无穷小量

若当(x ightarrow x_0)时，(f(x) ightarrow 0)，称(f(x))为无穷小量。

高阶无穷小量

若(lim_{x ightarrow x_0} frac{f(x)}{g(x)} = 0)，则称为(f)为(g)的高阶无穷小量，(g)为(f)低阶无穷小量。

对于如果(eta)是(alpha)的高阶无穷小量，记(eta=o(alpha))

导数的定义：

[f'(x) = lim_{Delta x ightarrow 0} frac{f(x + Delta x) - f(x)}{Delta x} ]

还可以写作(frac{df}{dx})

基本导数公式：

• ((c')=0)。是显然的。

• ((ln x)' = frac{1}{x})

证明：

这是定义：(e = lim_{x ightarrow 0} (1 + x)^{frac{1}{x}})

[(ln x)' = lim_{Delta x ightarrow 0} frac{ln(x + Delta x) - ln(x)}{Delta x} = lim_{Delta x ightarrow 0} frac{1}{Delta x} ln(1 + frac{Delta x}{x}) ]

[= lim_{Delta x ightarrow 0} ln(1 + frac{Delta x}{x})^{frac{1}{Delta x}} ]

[= lim_{Delta x ightarrow 0} ln((1 + frac{Delta x}{x})^{frac{x}{Delta x}})^{frac{1}{x}} ]

[= lim_{Delta x ightarrow 0} ln e^{frac{1}{x}} ]

[= frac{1}{x} ]

• ((e^x)'=e^x)

• 幂法则：((x^n)'=nx^{n-1})

[f'(x) = lim_{Delta x ightarrow 0} frac{(x+Delta x)^n-x^n}{Delta x} ]

二项式定理展开，忽略高阶小量

• ((sin x)' = cos x, (cos x)' = - sin x)

• 积法则：((fg)'=f'g+fg')

• 商法则：((frac{f}{g})'=frac{f'g-fg'}{g^2})

• 链式法则：(frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x))

• (frac{d}{dx} (a^x) = a^x ln x)

证明：

[(a^x)' = (e^{ln(a^x)})' = a^x(frac{d}{dx} ln(a^x)) = a^x(frac{d}{dx} x ln(a)) = a^xln(a) ]

积分

注意

[int { frac{1}{ax + b} dx} = frac{1}{a} ln |ax + b| + C ]

泰勒展开

• 拉格朗日中值定理：对于在区间([a, b])上可导函数(f)，存在(varepsilonin(a, b),f'(varepsilon)(b - a) = f(b) - f(a))。实际上就是斜率。

这个拉格朗日中值定理其实是泰勒展开的一阶展开。

泰勒展开是已知在(x_0)的函数值以及(n)阶以下导数，展开(f(x))。

构造多项式(g(x) = A_0 + A_1(x - x_0) + A_2 (x - x_0)^2 + ...)

令(g(x_0) = f(x_0), g'(x_0) = f'(x_0), ..., g^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0))（控制在(x_0)处的函数值和导数值与原函数相等）

解方程得到：

(f(x_0) = A_0, f'(x_0) = 1!A_1, f''(x_0) = 2!A_2, ..., f^{(n)} = n!A_n)

所以

[g(x) = f(x_0) + sum_{i = 1}^{infty} frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} (x - x_0) ^ i ]

如果我们算到((x-x_0)^n)，那么余项(R_n(x) = o[(x - x_0)^n])