「学习笔记」特征根法求解数列问题

听说特征法是数学中解常系数线性微分方程的一种通用方法。

而这里简单谈谈特征根法的运用：用数列的递推公式求通项公式，用通项公式求递推公式

特征根方法的证明需要线性代数相关知识，留坑。

斐波那契数列的公式推导：

定义( ext{Fibonacci})数列：(f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2), ngeq 2)

考虑这个递推式：(f(n) = f(n - 1) + f(n - 2))，找到一个一元二次方程与之对应（二次项对应(f(n))，一次项对应(f(n-1))，常数项对应(f(n-2))）

(x^2 = x + 1)

这个方程称为特征方程。

解出来特征根：(x_1=frac{1+sqrt 5}{2},x_2=frac{1-sqrt 5}{2})

则(f(n)=c_1 x_1^n+c_2 x_2 ^n)。把(f(0)=0,f(1)=1)代入，得到了：

(c_1 + c_2 = 0, c_1 x_1 + c_2 x_2 = 1)

解得：(c_1=frac{1}{sqrt 5}, c_2=-frac{1}{sqrt 5})，整理后得到：

[f(n)=frac{left(frac{1+sqrt 5}{2} ight)^n-left(frac{1-sqrt 5}{2} ight)^n}{sqrt 5} ]

一般递推式的解法

形式化地，考虑形如(f(n+2)=pf(n+1)+qf(n))的递推式子

我们把上面的式子换成：(f(n+2)-(x1+x2)f(n+1)+(x1x2)f(n)=0)

显然(x1 + x2 = p,x1x2=-q)。所以(x1,x2)是(x^2-px-q=0)的两个根

(f(n))就可以表示成(C_1 x_1^n+C_2 x_2^n, C_1,C_2)是常数

没有实数解怎么办？用复数。

反求递推式

某些时候通项公式可能不好计算，我们只能求出递推式然后矩阵快速幂求

看一个例子：

(f(n)=frac{(sqrt a + b)^n+(sqrt a - b)^n}{2})

令(x_1=sqrt a + b,x_2=sqrt a - b)

特征根方程即(x^2-2bx+(b^2-a)=0)（韦达定理）

所以 (f(n)=2b f(n-1)-(b^2-a)f(n-2))