【总结】主席树

这是一篇有关主席树的总结

主席树是什么？

对于原序列的每一个前缀[1···i]建立出一棵线段树维护值域上每个数出现的次数，则其树是可减的

PS：本篇随笔对于主席树的基本内容并没有深刻讲解，主要说明它的一些用法

其实就是很多一堆大量的权值线段树

（什么是权值线段树？就是每个节点维护不是位置，而是权值，比如 ([1,4]) 维护的就是权值等于1到权值等于4的信息）

而且这些线段树还隐含了一个前缀和的功能

最简单的就是一个数列，长度为 (n) ，那么就建 (n) 棵权值线段树，第 (i) 棵权值线段树对应第 (i) 个数，存的是从第一个数到第 (i) 个数的信息（建第 (i) 棵权值线段树的时候，只要先把第 (i-1) 棵权值线段树复制一份，再把 (i) 位置上的信息加入中间就可以了）

那么我们如果要知道数列中 (l) 位置到 (r) 位置的数的信息，就只要把 (r) 上的权值线段树减去 (l-1) 的权值线段树，得到的线段树保存的就是 (l) 到 (r) 的信息（其实就是一个差分）

然后我们发现每次都新建整个权值线段树又耗时间又爆内存，并且相邻两棵线段树之间改变的只有一点点内容，其它的都没有变，那对于这些不变的节点就不新建了，直接共用，即多棵权值线段树在某个位置共用一个节点

个人认为，主席树就是共用节点的权值线段树

主席树可以用来干嘛？

主席树的所有操作，基本上都可以说是对应一段区间，那么就都要先差分一下，以下所有功能都是差分之后的

1. 查询区间Kth（第 (k) 大/小）

   主席树中记录的是 (num) ，即每个数字出现的次数，然后每次判断当前区间的左子树的 (num) 是否满足条件，再决定走左子树还是右子树（极其类似于Treap）

2. 查询区间出现数字的和

   这只要把上面的 (num) 变成 (val) ，然后把差分后根节点的 (val) 输出就行了

3. 查询区间中权值在 ([l,r]) 之间的所有数字的和

   把 (num) 变成了 (val) 后，不直接返回根节点的值，而是返回主席树上 ([l,r]) 区间的 (val) 值（因为主席树是权值线段树）

暂知的作用就这几个

几个小套路

• 如果没有修改只有询问操作，那么可以直接静态主席树。但如果有修改操作，那么就要变成动态了。也就是说我们要有一个东西，可以维护能够修改的前缀和，那就BIT（树状数组）。所以动态主席树，一般就是树状数组套主席树的树套树

• 如果不是一个数列，而是一棵树上要维护两个节点的信息，那么就把主席树的每个版本变成从父亲继承的就行了，最后的查询就树上差分

这些套路要在题目之中去理解

几道练习题

大体上从简到难（看个人理解）

• 【刷题】洛谷 P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）（最基本的板子，入门题）
• 【刷题】BZOJ 3524 [Poi2014]Couriers（询问的内容稍微改变，但本质上没有区别，维护的东西也没有变）
• 【刷题】BZOJ 2588 Spoj 10628. Count on a tree（这就是树上的维护了，每个版本要从父亲继承）
• 【刷题】洛谷 P3573 [POI2014]RAJ-Rally（与主席树无关，但与权值线段树有关，神题一道）
• 【刷题】BZOJ 1901 Zju2112 Dynamic Rankings（第一道树套树，动态Kth）
• 【刷题】BZOJ 1926 [Sdoi2010]粟粟的书架（一道二合一题，其中有主席树，算是一个应用，二分+主席树）
• 【刷题】BZOJ 3295 [Cqoi2011]动态逆序对（树套树的应用）

七道题，后面的神题做得心累

没有数论题好做啊

从未结束

从此，主席树的学习告一段落

HNOI就要到了，可是HNOI最喜欢考的数据结构我还有很多没搞定

下一步——LCT